多質点系の運動エネルギー (2)

n質点系への拡張。
T = \displaystyle\frac{1}{2} M{\boldsymbol{V}_{\rm G}}^2 + \frac{1}{2}\sum_{i\lt j}\frac{m_im_j}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_i}-\dot{\boldsymbol{r}_j})^2
         ただし、M=\displaystyle\sum_i m_i,  \boldsymbol{V}_{\rm G}=\displaystyle\frac{\sum_i m_i \dot{\boldsymbol{r}_i}}{M}

以下、計算を実行して確認する。
T = \displaystyle\frac{1}{2}M\left(\displaystyle\frac{\sum_i m_i \dot{\boldsymbol{r}_i}}{M}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{i\lt j}\frac{m_i m_j}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_i} - \dot{\boldsymbol{r}_i})^2
   = \displaystyle\frac{1}{2M} \big\{\sum_i {m_i}^2 {\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2 + 2\sum_{i\lt j}m_i m_j \dot{\boldsymbol{r}_i}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_j}+\displaystyle\sum_{i\lt j}m_i m_j ({\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2 - 2\dot{\boldsymbol{r}_i}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_j} + {\dot{\boldsymbol{r}_j}}^2)\big\}
  = \displaystyle\frac{1}{2M} \sum_i\left( {m_i}^2{\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2 + \sum_{j \ne i}m_i m_j{\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2\right)
  = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_i\left(m_i + \sum_{j\ne i}m_j\right)m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2
  = \displaystyle\frac{1}{2}\sum_i m_i {\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2
Q.E.D.

多質点系の運動エネルギー (3) - 科学のおもちゃ箱@Hatena へ続く。