科学のおもちゃ箱@Hatena

定力で引かれる鎖の運動

衝突・運動量保存

ひものついた風船の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
をさらに単純化した問題。上昇の加速度が一定になるという意外な結果が得られる。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1185900871より。
【問題】
床の上にかたまっている鎖（線密度 $\lambda$ ）の１つの端をもって一定の力 $F$ で引き上げる。 $x$ だけ引き上げた時の速度 $v$ はどれだけになるか。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とし， $v>0$ の間の結果だけでよい。
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【解答】
上昇中の運動方程式は，

$\displaystyle\frac{d(\lambda xv)}{dt} = F - \lambda x g$

$x$ を変数として積分したいので，以下のように書き換える。

$\displaystyle\frac{d(xv)}{dx}\;v = \frac{F}{\lambda} - gx$

次のように変形すれば積分できて，

$2xv \displaystyle\frac{d(xv)}{dx} = \frac{2F}{\lambda}\; x - 2gx^2$

$\displaystyle\frac{d(xv)^2}{dx} = \frac{2F}{\lambda}\; x - 2gx^2$

$(xv)^2 = \displaystyle\frac{F}{\lambda}\; x^2 - \frac{2g}{3}\; x^3 + C$

となる。 $x(0)=0$ として $C=0$ 。したがって， $x>0$ において

$v^2 = \displaystyle\frac{F}{\lambda} - \frac{2g}{3}\; x$ … (*)

$\therefore v = \sqrt{\displaystyle\frac{F}{\lambda} - \frac{2g}{3}\; x}$

を得る。

以上の結果には多少の解釈が必要である。

$v(0) = \sqrt{\displaystyle\frac{F}{\lambda}} \neq 0$

であることに注意されたい。もちろん現実的な初期条件は $v(0)=0$ であるが，上の初速度に至る過渡現象が存在すると考えるべきであろう。いきなり定力 $F$ を受けることで，微小時間のうちに速度は上記の値に達するのである。

さて，(*)を時間微分すると

$2v\dot{v} = -\displaystyle\frac{2g}{3}\; v$

$\therefore \dot{v} = -\displaystyle\frac{g}{3}\quad,\quad v\ne 0$

となり，定常上昇時には加速度は一定になることがわかる。また，最高点は $v=0$ により

$x_{\rm max.} = \displaystyle\frac{3F}{2\lambda g}$

となる。

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Algodooシミュレーション
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POLYMATH数値シミュレーション

運動の全容を見てみよう。
ひものついた風船の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatenaでも考察したように，鎖はつり合い中心まわりに減衰振動をする。運動方程式は，

$\ddot{x} = \displaystyle\frac{F}{\lambda x} - g - (\dot{x}>0)\cdot\frac{{\dot{x}}^2}{x}$

となる。 $(\dot{x}>0)$ は論理式で，真なら1，偽なら0をとるものとする。Algodooシミュレーションでは，鎖の運動はより現実に近く，エネルギー散逸が大きいため減衰がはやい。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=571&file=Const-Force-To-Chain.phz

（初稿：2012/04/22）