荷台からの丸太の落下

ファインマン物理学」の演習より。テキストに解答もなかったが,シミュレーションによって正解を確認できた。
【問題】
同じ大きさ,質量の丸太がトラックの荷台につんである。トラックが道から飛び出して角度 \theta 傾いて止まった。摩擦は一切無視できるとする。
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(1) 下の2本の間で及ぼしあう抗力を求めよ。ただし,丸太の重さを W とする。

(2) 角度 \theta がちょっとでも小さかったら,丸太はすべりだすところであった。\tan\theta を求めよ。

【解答】
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(1)

上と右の丸太が受ける力のつりあいは,図の様において x,y成分に分けると

$$\frac{1}{2}(N_2 - N_1) = W\sin\theta$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}(N_1 + N_2) = W\cos\theta$$

$$N_3 + \frac{1}{2}N_1 = W\sin\theta$$

となる。右の丸太の y 成分は不要なので省略した。これを解いて,

$$N_3 = \left(\frac{3}{2}\sin\theta - \frac{1}{2\sqrt{3}}\cos\theta\right)W$$

を得る。

(2)

(1)の結果で N_3=0 とおいて,

$$\tan\theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$$

※ \theta \simeq 10.9°である。
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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=256&file=Feynman4-14.phz

(初稿:2009/12/16)