半円筒に立てかけた棒

よくみかける問題。
【問題】
図のように,半径 r の円筒に長さ 2r,質量 M の一様な棒が水平な床面との角度 \theta で立てかけられている。円筒面はなめらかで,床面と棒との間の静止摩擦係数は \mu である。また,重力加速度の大きさを g とする。

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(1) 棒が床面から受ける垂直抗力と摩擦力を求めよ。

(2) \theta をしだいに小さくしていき,ちょうど30°になったとき棒がすべった。\mu を求めよ。


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図のようにおくと,棒のつりあい条件は

$$R\sin\theta = F$$
$$R\cos\theta+N = Mg$$
$$R\cdot\frac{r}{\tan\theta} = Mgr\cos\theta$$

したがって,

$$F = Mg\sin^2\theta$$
$$N = Mg(1-\sin\theta\cos\theta)$$

(2)

\theta=30°のとき,F=\mu N すなわち

$$\mu = \frac{F}{N} = \frac{\sin^2\theta}{1-\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{4-\sqrt{3}}$$

シミュレーションでは,M=1.0[kg] である。摩擦係数は,シミュレーションでは床と棒の「まさつ」パラメータの相乗平均であるから,床を1に設定しておいて棒のパラメータを変えたとき,すべりだす値の平方根が静止摩擦係数となる。
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(初稿:2009/11/27)