中心力 -kr を受ける質点の最接近距離

Yahoo! 知恵袋から拾った問題。おもしろい小問だけつまみぐい。
【問題】
質量mの質点が、原点Oからの距離rに比例する中心力F = -krk\gt 0:比例定数)を受けて、x-y平面内で原点まわりの回転運動をする。
時刻t=0に質点は、図のように x軸上(x\gt 0)で原点からの距離r_0の位置にあり、y軸正方向から反時計回りに角度\phi0\lt \phi \lt \pi/2)の方向に速さv_0をもって運動を始めた。

m{v_0}^2 \ll k{r_0}^2 のとき、この質点と原点Oとの最短距離 r_{\rm{min}} を求めよ。

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【解答】

力学的エネルギー保存により
$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}k{r_0}^2$$
角運動量保存により
$$rv = r_0 v_0 \cos\phi$$
vを消去すると次のようなrの方程式を得る。
$$\gamma\left(1-\frac{\cos\phi}{x}\right)=x-1$$
ただし、
$$\gamma=\frac{m{v_0}^2}{k{r_0}^2},   x=\left(\frac{r}{r_0}\right)^2$$
整理すると、
$$x^2-(1+\gamma)x+\gamma\cos\phi=0$$
を得る。この解が最近距離と最遠距離を与える。
\gamma\ll 1 の近似をとると、
$$r_{\rm{min}} = v_0 \sqrt{\frac{m}{k} \cos\phi}$$
を得る。近似しているから厳密ではないが、r_0に無関係になるところが興味深い。

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