双極子が非一様電場から受ける力

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316より。電気双極子が,非一様な(場所に依存する)電場から受ける力を求める,ベクトル解析の問題。
【問題】

非一様な(場所に依存する)電場\boldsymbol{E}の中で双極子モーメント\boldsymbol{p} にはたらく力は,

$$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$

で表されることを示せ。ただし,ベクトル解析の公式

$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$

を用いること。


【解答】

双極子モーメントを

$$\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}$$

とすると,双極子の中心を原点にとって

+q の位置は,\boldsymbol{d}/2
-q の位置は,-\boldsymbol{d}/2

したがって,位置\boldsymbol{r}の電場を\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})と書くとき求める力は,

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)$$

ここで,\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)を原点まわりに展開して,1次の項だけ残せば

$$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$
$$\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$


したがって,

$$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$$

しかるに,

$$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$$

$$\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$$

を得る。

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\nabla\boldsymbol{E}微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。

$$\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)$$
(初稿:2012/12/10)