双極子が非一様電場から受ける力 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
【問題】

非一様な(場所に依存する)電場 $\boldsymbol{E}$ の中で双極子モーメント $\boldsymbol{p}$ にはたらく力は，

$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$

で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式

$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$

を用いること。

【解答】

双極子モーメントを

$\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d}$

とすると，双極子の中心を原点にとって

$+q$ の位置は， $\boldsymbol{d}/2$
$-q$ の位置は， $-\boldsymbol{d}/2$

したがって，位置 $\boldsymbol{r}$ の電場を $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$ と書くとき求める力は，

$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) - q\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2)$

ここで， $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2)$ を原点まわりに展開して，１次の項だけ残せば

$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) + \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$
$\boldsymbol{E}(-\boldsymbol{d}/2) = \boldsymbol{E}(\boldsymbol{0}) - \boldsymbol{d}/2\cdot\nabla\boldsymbol{E}$

したがって，

$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{d}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$

しかるに，

$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$

$\therefore \boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$

を得る。

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$\nabla\boldsymbol{E}$ は微分演算子ベクトルと電場ベクトルの「直積」である。

$\nabla\boldsymbol{E} = \left(\begin{array}{ccc}\partial_xE_x \quad \partial_xE_y \quad \partial_xE_z \\ \partial_yE_x \quad \partial_yE_y \quad \partial_yE_z \\\partial_zE_x \quad \partial_zE_y \quad \partial_zE_z \end{array}\right)$

（初稿：2012/12/10）