進行波と反射波によるうなり

音源と反射壁の間を観測者が動くとうなりが観測される現象は,ドップラー効果の典型的な問題にもなっている。これは,定常波の位置による振幅変化を観測しているに過ぎないことが知られている。本質的には「いつ重ね合わせるか」という違いである。

【問題】
振動数fの音源と反射壁の間を,観測者が速さvで壁に向かって走っている。観測者は,音源からの直接波と反射波を同時に聞くことにより,うなりを観測する。音速をcとして,観測されるうなりの振動数を求めよ。
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※図の定常波は,圧力波または密度波としてのものである。すなわち壁は自由端で腹となる。


【解法1】 ドップラー効果による

直接波の観測振動数f_1,反射波の観測振動数f_2とする。観測者は,波長\lambda = c/fの音波を観測するが,直接波は観測者にとってc-vの速さでとどき,反射波はc+vの速さでとどくから,

$$f_1 = \frac{c-v}{\lambda} = \frac{c-v}{c} f$$
$$f_2 = \frac{c+v}{\lambda} = \frac{c+v}{c} f$$

したがって,観測されるうなりの振動数は,

$$n = f_2 - f_1 = \frac{2v}{c} f$$

【解法2】 定常波による

行波と反射波が重なり合うと,となりあう腹の間の距離が

$$\frac{\lambda}{2} = \frac{c}{2f}$$

の定常波を形成する。観測者がこの距離を進む時間は,

        \tau = \displaystyle\frac{c}{2fv}

であるから,うなりの振動数は,

        n = \displaystyle\frac{1}{\tau} = \frac{2v}{c} f

2つの解法は,本質的には,次のような手順の違いといえる。

【解法1】
2波を独立に考えて,両者において観測される振動をとりだした上で,2つの振動を重ね合わせる。

【解法2】
2波を全域的に重ね合わせて,合成波において観測される振動をとりだす。

実際に波の式(波動関数)から計算してみよう。

行波を y_1 = A\sin(\omega t - kx)
反射波を y_2 = A\sin(\omega t + kx)

とおく。簡単のため,減衰は無視することにした。

【解法1】
観測される振動は,x=vtを代入して,

行波 y_{1t} = A\sin(\omega-kv)t  ※\omega_1 = \omega-kv すなわち f_1 = f(c-v)/c
反射波 y_{2t} = A\sin(\omega+kv)t  ※\omega_2 = \omega+kv すなわち f_2 = f(c+v)/c

合成結果は,

$$y_t = 2A\cos kvt\cdot \sin\omega t = 2A\cos\frac{v}{c}\omega t\cdot\sin\omega t$$ 

   ※kv=(\omega_2-\omega_1)/2 → n = f_2 - f_1 (うなりの振動数)

【解法2】
合成波は,

$$y = 2A\cos kx\cdot \sin\omega t$$

観測される振動は,x=vtを代入して,

$$y_t = 2A\cos kvt\cdot\sin\omega t = 2A\cos\frac{v}{c}\omega t\cdot\sin\omega t$$

振幅因子の周期は,

$$T =\frac{ 2\pi c}{v\omega} = \frac{c}{vf}$$

うなりの振動数は,

$$n = \frac{1}{T}\times2 = \frac{2vf}{c} = f_2 - f_1$$

波の式(波動関数)の合成までさかのぼれば,ほとんど違いはなくなってしまい,まさに同じ現象の異なる説明であることが明らかである。

(初稿:2009/11/12)