科学のおもちゃ箱@Hatena

運動方程式から軌道方程式まで（２）

物理数学

極座標による運動方程式から，軌道の微分方程式までを追う。

(2) 運動方程式から軌道の微分方程式まで

動径方向および方位角方向の運動方程式より，

$\ddot{r}-r\dot{\phi}^2 = -\displaystyle\frac{f(r)}{m} = -\frac{GM}{r^2}$

$r^2\dot{\phi} = h$

を得た。目標である軌道方程式を得るために，軌道が満たすべき微分方程式を導く。
先が分かっているからできることだが，ズルをして

$u = \displaystyle\frac{1}{r}$

と変数変換をする。まず，方位角方向の運動方程式の積分（角運動量保存）より

$\dot{\phi} = hu^2$

したがって，

$\dot{r} = -\displaystyle\frac{\dot{u}}{u^2} = -h\frac{\dot{u}}{\dot{\phi}} = -h\frac{du}{d\phi}$

$\therefore \ddot{r} = -h\displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}\dot{\phi} = -h^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}$

これらにより，動径方向の運動方程式を書き換えて，

$-h^2u^2\displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}-h^2u^3 = -GMu^2$

すなわち，

$\displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$

を得る。これが，軌道 $u=u(\phi)$ が満たすべき微分方程式である。

ここまでくると，もうひとつの方法に思い至る。エネルギー保存則は，運動方程式の座標による積分だが，逆に微分することで軌道の微分方程式を得る。

$\displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E = {\rm const.}$

上の $\dot{r},\dot{\phi}$ の表式を代入すると

$\displaystyle\frac{1}{2}\left\{h^2\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2+h^2u^2\right\}-GMu = \frac{E}{m}$

を得る。両辺を $\phi$ で微分すると，

　　　　　　　　 $h^2\displaystyle\frac{du}{d\phi}\frac{d^2u}{d\phi^2} + h^2u\frac{du}{d\phi} - GM\frac{du}{d\phi} = 0$

ここで， $du/d\phi$ は軌道の各点で異なる値をとるから，全体から除すれば

　　　　　　　　 $\displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$

と，上に同じ結果を得る。角運動量保存こそ用いたが，動径方向の運動方程式を経ずに導出した分，かなりのショートカットになっているといえる。

運動方程式から軌道方程式まで（３） - 科学のおもちゃ箱@Hatena へ続く。

（初稿：2010/03/16）