運動方程式から軌道方程式まで(2)

極座標による運動方程式から,軌道の微分方程式までを追う。

(2) 運動方程式から軌道の微分方程式まで

動径方向および方位角方向の運動方程式より,

          \ddot{r}-r\dot{\phi}^2 = -\displaystyle\frac{f(r)}{m} = -\frac{GM}{r^2}

$$r^2\dot{\phi} = h$$

を得た。目標である軌道方程式を得るために,軌道が満たすべき微分方程式を導く。
先が分かっているからできることだが,ズルをして

$$u = \frac{1}{r}$$

と変数変換をする。まず,方位角方向の運動方程式積分角運動量保存)より

$$\dot{\phi} = hu^2$$

したがって,

$$\dot{r} = -\frac{\dot{u}}{u^2} = -h\frac{\dot{u}}{\dot{\phi}} = -h\frac{du}{d\phi}$$

$$\therefore \ddot{r} = -h\frac{d^2u}{d\phi^2}\dot{\phi} = -h^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}$$

これらにより,動径方向の運動方程式を書き換えて,

$$-h^2u^2\frac{d^2u}{d\phi^2}-h^2u^3 = -GMu^2$$

すなわち,

        \displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}

を得る。これが,軌道u=u(\phi)が満たすべき微分方程式である。

ここまでくると,もうひとつの方法に思い至る。エネルギー保存則は,運動方程式の座標による積分だが,逆に微分することで軌道の微分方程式を得る。

$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E = {\rm const.}$$

上の \dot{r},\dot{\phi} の表式を代入すると

$$\frac{1}{2}\left\{h^2\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2+h^2u^2\right\}-GMu = \frac{E}{m}$$

を得る。両辺を\phi微分すると,

        h^2\displaystyle\frac{du}{d\phi}\frac{d^2u}{d\phi^2} + h^2u\frac{du}{d\phi} - GM\frac{du}{d\phi} = 0

ここで,du/d\phi は軌道の各点で異なる値をとるから,全体から除すれば

        \displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}

と,上に同じ結果を得る。角運動量保存こそ用いたが,動径方向の運動方程式を経ずに導出した分,かなりのショートカットになっているといえる。

(初稿:2010/03/16)