運動方程式から軌道方程式まで（３）

軌道の微分方程式を積分して，軌道方程式を得る。

軌道 $u=u(\phi)$ が満たすべき微分方程式として，

　　　　　　　　 $\displaystyle\frac{d^2u}{d\phi^2}+u = \frac{GM}{h^2}$

を得た。簡単のため，右辺を $\alpha$ とおくと，

$\displaystyle\frac{d^2}{d\phi^2}(u-\alpha) = -(u-\alpha)$

となるから，ただちに

$u - \alpha = C\cos\phi$

を得る。余弦の中にもうひとつの積分定数である初期位相をとるべきだが，近日点（ $r$ 最小の位置）を $\phi=0$ にとることで省略することに不都合はないだろう。座標変数を $r$ にもどせば，

$r(\phi) =\displaystyle \frac{l}{1+e\cos\phi}$

という形に整理できる。これは，円錐曲線（円錐を平面で切ったときの切り口の形）とよばれる2次曲線群を表しており，

$0\leq e\lt 1$ ：楕円
$e=1$ 　　：放物線
$e \gt 1$ 　　：双曲線

に相当して，初期条件の違いによって，それぞれ実現可能な軌道となる。なお，

　　　　　　　　 $l=r\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{h^2}{GM}\quad,\quad e=\displaystyle\frac{h^2C}{GM}$

はいわゆる半直弦および離心率である。 $l=1$ で $e=0.5,1,1.5$ の場合を図に示す。
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（初稿：2010/03/16）