円板の斜衝突 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

［問題］

なめらかな水平面上で２つの円板A,Bが弾性衝突をしてはねかえる。
Aの質量 $M$ 　速度 $\boldsymbol{V}=(V_x,V_y)$ 　衝突時の位置 $(X,Y)$
Bの質量 $m$ 　速度 $\boldsymbol{v}=(v_x,v_y)$ 　衝突時の位置 $(x,y)$
とする。衝突面の摩擦はないものとして、衝突後のA,Bの速度 $\boldsymbol{V’}=(V’_x,V’_y)$ ， $\boldsymbol{v'}=(v'_x,v'_y)$ 　を求めよ。
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［解答］

質量中心系に乗ると簡明と思われる。
重心速度　 $\boldsymbol{V_G} = \displaystyle\frac{M\boldsymbol{V}+m\boldsymbol{v}}{M+m}=\frac{M\boldsymbol{V'}+m\boldsymbol{v'}}{M+m}$
衝突前後のA,Bの重心に対する相対速度を $\boldsymbol{U}, \boldsymbol{U'}, \boldsymbol{u}, \boldsymbol{u'}$
とする。
$\boldsymbol{U} = \boldsymbol{V} - \boldsymbol{V_G}$ ,　etc.
また、衝突時にAの中心からBの中心に向かうベクトルを $\boldsymbol{r} = (x-X,y-Y)$
とする。

Aについて考える。
衝突前後の重心に対する速さは等しいから、
$U' = U$
また、 $\boldsymbol{U'}$ と $\boldsymbol{U}$ は、衝突面に対して対称になるから
$\boldsymbol{U'}\cdot\boldsymbol{r} = -\boldsymbol{U}\cdot\boldsymbol{r}$
が成立する。

２式を連立させると、
$U'_x = - \displaystyle\frac{({r_x}^2-{r_y}^2)U_x + 2r_x r_y U_y}{{r_x}^2+{r_y}^2}$
$U'_y = \displaystyle\frac{({r_x}^2-{r_y}^2)U_y - 2r_x r_y U_x}{{r_x}^2+{r_y}^2}$

$\boldsymbol{V'} = \boldsymbol{U'} + \boldsymbol{V_G}$
により、目的を得る。
Bについても全く同様である。

［付記］
Yahoo! 知恵袋から拾った問題である。質問者はおそらくシミュレーションプログラミングでも考えているのだろう。上記の内容で回答したら、直接の答え「のみ」を要求してきた。プログラミングをするならなおさら、分割定義して記述すべきであろうものを。しかしながら、ヒマにまかせて整理してみた。
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f:id:yokkun831:20200110115929p:plain — Algodooによるシミュレーションで、まずまずの一致をみた。