ターンテーブル上で正多角形を歩く虫

［問題］

水平に置かれた自由に回転できる質量 $M$ 、半径 $r$ の円板上で、質量 $m$ の虫が円周に内接する正 $n$ 角形を描いて歩くとする。虫が円板上を一周する間に円板はどれだけ回転するか。（オリジナル問題）

f:id:yokkun831:20200218205205p:plain — ターンテーブル上で正三角形を歩く虫

［解答］

１頂点をスタートしてとなりの頂点まで一定の速さ $v$ で歩くと考える。実際速さ一定の条件は不要だが、一定を仮定しても題意を制限することはない。スタートしてからの時間 $t$ において、円板の角速度の大きさを $\Omega$ とおくと、角運動量は保存されるから

$mr\cos\displaystyle\frac{\pi}{n}\cdot{v} - m\Big\{r^2\cos^2\frac{\pi}{n} + \left(vt - r\sin\frac{\pi}{n}\right)^2\Big\}\Omega - \frac{1}{2}Mr^2\Omega = 0$
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$\Omega$ について解けば
$\Omega = \displaystyle\frac{r\cos\displaystyle\frac{\pi}{n}\cdot v}{\left(\displaystyle\frac{M}{2m}+\cos^2\frac{\pi}{n}\right)r^2+\left(vt-r\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}\right)^2}$
を得る。

１辺を歩く時間
$T=2r\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}\;/v$
に対して、求める回転角は
$\theta = n\displaystyle\int_0^T\Omega dt$
となる。

$vt - r\sin\displaystyle\frac{\pi}{n} = \sqrt{\frac{M}{2m}+\cos^2\frac{\pi}{n}}\cdot r \tan\phi$
とおくと、
$v dt = \sqrt{\displaystyle\frac{M}{2m}+\cos^2\frac{\pi}{n}}\cdot r \sec^2\phi d\phi$
より、
$\theta = \displaystyle\frac{2n\cos\displaystyle\frac{\pi}{n}}{\sqrt{\displaystyle\frac{M}{2m}+\cos^2\frac{\pi}{n}}} \cdot \tan^{-1}\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}}{\sqrt{\displaystyle\frac{M}{2m}+\cos^2\frac{\pi}{n}}}$
を得る。

$n\rightarrow\infty$ の場合円周に沿って歩くことになる。 $\theta$ の結果からは得られないが、 $\Omega$ にもどれば、
$\Omega = \displaystyle\frac{v}{\left(\displaystyle\frac{M}{2m}+1\right)r}$
により、
$\theta = 2\pi\cdot\displaystyle\frac{2m}{M+2m}$
を得る。

シミュレーションの条件は、 $M=10m$ 。 $n\rightarrow\infty$ で $\theta=\pi/3$ となる。

f:id:yokkun831:20200218215323p:plain — 正六角形の場合（Algodooによるシミュレーション）