惑星のエネルギー保存

惑星の公転運動に対する運動方程式積分して、エネルギー保存を導出する。

平面曲座標 (r,\theta) による運動方程式は 、
m(\ddot{r} - r{\dot\theta}^2) = - \displaystyle\frac{GMm}{r^2}

\dot\theta を含むので、接線方向の運動方程式角運動量保存)から
h = r^2\dot\theta = const.
とおき、
\dot\theta = \displaystyle\frac{h}{r^2}
と書き換えると見通しがよい。

m\left(\ddot{r} - \displaystyle\frac{h^2}{r^3}\right) = - \displaystyle\frac{GMm}{r^2}

両辺に \dot{r} をかけると、

 m\left( \dot{r}\ddot{r} - \displaystyle\frac{h^2\dot{r}}{r^3} \right) = - \displaystyle\frac{GMm\dot{r}}{r^2}

 m\left( \displaystyle\frac{1}{2}\frac{d}{dt} (\dot{r}^2) + \displaystyle\frac{h^2}{2}\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{r^2}\right)\right) = GMm \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)

積分して、

 \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2{\dot\theta}^2) - \displaystyle\frac{GMm}{r} = const.

を得る。