鉛直円板振り子の最小周期

剛体の回転・角運動量保存

円板を鉛直に下げて微小振動させるとき、その周期を最小にする支点を求める。
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半径 a、 質量M の一様な円板の中心からb だけ離れた点を支点として円板を円直面内で微小振動させた。この振動の周期T を求めよ。このT を最小にするb 及びその時の周期T_{min} を求めよ。

【解答】
慣性モーメント I = M(a^2/2 + b^2)

微小振動の運動方程式
I \ddot{\theta} = - Mgb \theta

角振動数 \omega = \sqrt{\displaystyle\frac{Mgb}{I}} = \sqrt{\displaystyle\frac{2gb}{a^2 + 2b^2}}
周期 T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{a^2 + 2b^2}{2gb}} = 2\pi\displaystyle\frac{\sqrt{a^2/b + 2b}}{\sqrt{2g}}

分子の根号の中をとりだすと、
a^2/b + 2b = (\sqrt{2b} - a/\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{2} a

したがって、b = a/\sqrt{2} のとき、Tは最小値
T_{min} = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{2} a}{g}}
をとる。

Algodooシミュレーション a=1 m のとき、T_{min} = 2.4sec.

https://youtu.be/A7U1ygbC6yw