電磁場下の電子のサイクロイド運動

電場 \boldsymbol{E} = (0,-E,0)
磁場 \boldsymbol{B} = (0,0,-B)
が一様に与えられた空間において、原点にから初速0で放した電子の運動。

運動方程式は、
m\ddot{x} = e\dot{y}B
m\ddot{y} = eE - e\dot{x}B

第1式より、
\dot{x} = \displaystyle\frac{eB}{m} y + C
y=0\dot{x}=0 なので、C=0
第2式に代入すると、
\ddot{y} = -\left(\displaystyle\frac{eB}{m}\right)^2 \left(y - \displaystyle\frac{mE}{eB^2}\right)
\omega =\pm\displaystyle\frac{eB}{m} として、積分すると
y =\displaystyle\frac{mE}{eB^2} + a \cos(\omega t + \alpha)
t=0y=0 より、a \cos\alpha = -\displaystyle\frac{mE}{eB^2}
t=0\dot{y}=0 より、\alpha=0, \quad a=-\displaystyle\frac{mE}{eB^2}

\dot{x} = \displaystyle\frac{E}{B}(1-\cos\omega t)
積分して、
x =  \displaystyle\frac{E}{\omega B}(\omega t - \sin\omega t) + C^\prime
t=0x=0 より、C^\prime=0

以上より、次の結果を得る。
x = \displaystyle\frac{mE}{eB^2}(\omega t - \sin\omega t)
y = \displaystyle\frac{mE}{eB^2}(1 - \cos\omega t)
軌道は、x-y 平面上のサイクロイドである。

電場\boldsymbol E の存在により、電子の円運動がシフトしていくことになる。すると、
v = \displaystyle\frac{E}{B}
の速さでx軸正方向に運動する観測者にとっては、電子の運動は等速円運動になるから、電場が消失することになる。これはもちろん、電磁場のローレンツ変換によって説明される現象である。