球座標による応力のつりあいの微分方程式を計算してみた。(初稿:2012/02/17)
応力テンソル,単位体積当たり物体力(体積力)をとすると,つりあいは
と書ける。基底のダイアド積(直積)を用いると第1項は,
となる。最右辺第3項が,通常のベクトルの発散と異なってテンソルであるために付加される部分である。したがって,第1・2項はベクトルの発散の公式を用いてもよい。ただし,上式において微分演算子は
と,スケール因子を含むものとする。すなわち,球座標においては
である。基底の微分
を用いて計算すれば,やや長い計算の後に下記を得る。
ただし,等。これを用いれば,球座標による応力の平衡方程式
を得る。