回転の記述と軸性ベクトル（５） - 科学のおもちゃ箱@Hatena

回転の記述と軸性ベクトル（４）において磁場が軸性ベクトルであることをその源から解釈した。続いて電場を含めて電磁場が２階反対称の４元テンソルを構成することを示して，磁場の軸性を深く理解する礎としたい。

(5) 磁場の軸性と電磁場のテンソル

電流を源として磁場が生じる法則（アンペールの法則またはビオ・サバールの法則）から，磁場の軸性について考察してきた。そこで，磁場ベクトルと双対をなす２階反対称テンソルを考え，それを空間成分とする４元テンソルが電磁場テンソルに他ならないことを示す。

磁場はその源である電流の配置によって決まるベクトルポテンシャル（極性ベクトル）によって，

$\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}$

と書ける。 $\nabla$ が極性ベクトル相当であるから，磁場は軸性ベクトルとなる。したがって，その双対をなすテンソルを $\Omega$ にならって

$^*\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}\quad 0 \quad -B_z \quad B_y\\ \quad B_z \qquad 0 \quad -B_x\\ -B_y\quad B_x \qquad 0\end{matrix}\right)$

と書くことができる。たとえば，電荷 $q$ が磁場から受ける（狭義の）ローレンツ力はこれを用いて，

$\boldsymbol{f} = q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} = -q\;^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}$

と書ける。

さて，Maxwell方程式によって記述されるように，磁場は電場と切り離しがたく結びついている。これは，その源である４元電流密度

${\rm J} = (\rho c, \boldsymbol{j})$

が時空の４元ベクトルを構成することからもわかる。この ${\rm J}$ の空間的配置によって４元ポテンシャル

${\rm A} = (\phi/c , \boldsymbol{A})$

が決定する。詳細は拙著による小冊子「特殊相対性理論compact」
https://1drv.ms/b/s!AmvGIcmpu2Gwlk5Flzy4PsSPOOd2
などを参考にしていただきたいが，結論を急げば，微分演算子

$\boldsymbol{\partial} = \left(\displaystyle\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$

と４元ポテンシャルとの反対称積（４元ベクトル積？）をとることで電磁場テンソルが得られ，反変成分は

${\rm F} = \left(\begin{matrix}0\qquad -\boldsymbol{E}/c\\\boldsymbol{E}/c\qquad ^*\boldsymbol{B}\end{matrix}\right)$

という形になる。なお第１行の $\boldsymbol{E}$ は行ベクトル，第１列のそれは列ベクトル， $^*\boldsymbol{B}$ は磁場の反対称テンソルを示す。これと４元速度ベクトルの共変成分

${\rm U} = (\gamma c,-\gamma\boldsymbol{v})$

との行列積をとることで，ローレンツ力の４元表現

${\rm f} = q{\rm F}{\rm U} = \gamma q\left(\begin{matrix}\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\end{matrix}\right)$

を得る。また，これも「特殊相対性理論compact」に譲るが，この電磁場テンソルを用いるとMaxwell方程式がコンパクトな２つのテンソル方程式で記述することができるのである。

※「特殊相対性理論compact」では，磁場の反対称テンソル $^*\boldsymbol{B}$ の定義において上記と符号を逆にしたものを用いている。
https://1drv.ms/b/s!AmvGIcmpu2Gwlk5Flzy4PsSPOOd2

（初稿：2012/01/30）