電気双極子場

電磁気

「物理のかぎしっぽ数式掲示板」というややハイレベルなQ&A掲示板がかつてあった。そこに次の質問が寄せられた。
「問題」
電気双極子：微小区間dで並ぶ点電荷qと-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント：\boldsymbol{P}=q\boldsymbol{d}に比べて十分に遠方の点Pでの電位\phi(\boldsymbol{r})を求めなさい。
※答えは
\phi(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}
になるそうです。
次に電場を求めなさい。
※答えは
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)
になるそうです。

この掲示板はかなり刺激的で，なかなかついていけない議論も多いが，これはなんとかできそう？
で，やってみた。
-qから+qまでのベクトルを\boldsymbol{d}，またk_0=1/(4\pi\varepsilon_0)として，
+qによる電位
\phi_+(\boldsymbol{r}) = k_0\displaystyle\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq \frac{k_0q}{r}\left(1+\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)
-qによる電位
\phi_-(\boldsymbol{r}) = -k_0\displaystyle\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq -\frac{k_0q}{r}\left(1-\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)
したがって，
\phi(\boldsymbol{r}) = \phi_+(\boldsymbol{r}) + \phi_-(\boldsymbol{r}) = \displaystyle\frac{k_0\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}
電場は電位の勾配をとればよいが，これがなかなか大変。
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\nabla\phi(\boldsymbol{r}) = -k_0\nabla\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right)
一般に，
[\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})]_i = \bigtriangledown_i (\sum_{j=1}^3 a_jb_j) = \sum_{j=1}^3(b_j\bigtriangledown_ia_j+a_j\bigtriangledown_ib_j)
すなわち，
\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) = (\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} + (\nabla\circ\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}
となる。ただし，右辺は行列としての積をとるものとし，「\circ」は直積を意味する。すなわち，
(\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_x\\\bigtriangledown_y\\\bigtriangledown_z\end{pmatrix} \begin{matrix}(a_x,a_y,a_z)\\ \\ \\\end{matrix}\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}
\boldsymbol{P} は定ベクトルであるから，結局
\nabla\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \nabla\circ\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \boldsymbol{P}
となる。\boldsymbol{P}の係数は，
\left[\nabla\circ\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)\right]_{ij} = \bigtriangledown_i\left(\displaystyle\frac{x_j}{r^3}\right) = \displaystyle\frac{\delta_{ij}}{r^3} - \frac{3x_ix_j}{r^5}
であるから，
\nabla\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \left(\displaystyle\frac{\bf{1}}{r^3} - \frac{3\boldsymbol{r}\circ\boldsymbol{r}}{r^5}\right)\boldsymbol{P} = \displaystyle\frac{\boldsymbol{P}}{r^3} - \frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}
よって，
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=k_0\left(-\displaystyle\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)
となる。（終わり）

（初稿2008/11/23）

【追記】
電場を求めるのにかっこつけてベクトル表記を駆使したが、実はデカルト座標成分に書き下ろせば全く簡単である。
E_x = - \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x} = k_0\left(-\frac{P_x}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})}{r^4}\frac{\partial r}{\partial x}\right)
　　　 = k_0\left(-\displaystyle\frac{P_x}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})x}{r^5}\right)
（追記：2019/04/11）