球面をころがる小球 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】
半径 $r$ の小球が，水平面に固定した半径 $R$ の半球面を頂点から初速ゼロですべることなくころがりおりる。
(1) 小球が半球面を離れる位置を，半球の鉛直上方半径からの中心角 $\theta$ で示せ。
(2) 小球が水平面に達する位置を，半球の中心からの距離で示せ。

(1)
図のようにおく。
f:id:yokkun831:20181228163401j:plain
小球が半球面を離れる瞬間において，エネルギー保存により
$mg(R+r)(1-\cos\theta) = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{R+r}{r}\dot{\theta}\right)^2$
ここで，
$v = (R+r)\dot{\theta},\qquad I = \displaystyle\frac{2}{5}mr^2$
$\therefore mg(R+r)(1-\cos\theta) = \displaystyle\frac{7}{10}mv^2$
また，このときの運動方程式（半径方向）は， $N=0$ より
$\displaystyle\frac{mv^2}{R+r} = mg\cos\theta$
両式より $v$ を消去して，
$\cos\theta=\displaystyle\frac{10}{17}$
このとき，
$v=\displaystyle\sqrt{\frac{10g(R+r)}{17}}$

(2)
円筒面を離れてから水平面に達するまでの時間を $t$ とする。
水平方向と鉛直方向の移動距離について，
$l-(R+r)\sin\theta = x = v\cos\theta \cdot t$
$(R+r)\cos\theta = v\sin\theta\cdot t+\displaystyle\frac{1}{2}gt^2$
　　※本来左辺からは $r$ を引くべきである。
すなわち，
$\displaystyle r\cos\theta = x\tan\theta + \frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}$
代入整理すると，
$x^2+\displaystyle\frac{32\sqrt{33}}{343}rx-\frac{512}{2401}r^2=0$
$\therefore \displaystyle\frac{x}{r}=-\frac{16\sqrt{33}}{343}+\sqrt{\left(\frac{16\sqrt{33}}{343}\right)^2+\frac{512}{2401}} \simeq 0.266$
となる。したがって，
$l = r\sin\theta + x \simeq 1.09r$

Algodooでは，「まさつ」パラメータを無限大にしてシミュレーションする。

―――――　以下加筆

その後この問題を再度検討する機会に恵まれ、摩擦力について再考。

摩擦力を $F$ 、小球の回転角 $\varphi$ とすると、
重心まわりの回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{2}{5} mr^2\ddot\varphi = Fr$
重心の運動方程式
$m\displaystyle\frac{v^2}{R+r} = mg\cos\theta - N$ 　←上のエネルギー保存と連立
$m(R+r)\ddot\theta = mg\sin\theta - F$
すべらずに転がる条件より
$(R+r)\ddot\theta = r\ddot\varphi$
以上から
$N = mg(17\cos\theta - 10)/7$
$F = \displaystyle\frac{2}{7}mg\sin\theta$
を得る。