エネルギーによって軌道長半径が決まること

ケプラーの第1・2法則を前提として,「力学的エネルギーによって衛星の軌道長半径が一意に定まること」の一般的証明。


ほとんど同じだが,2つの方法でやってみた。

【証明1】

力学的エネルギー

E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \displaystyle\frac{GMm}{r}

r=aの円軌道の場合

\displaystyle\frac{mv^2}{a} = \displaystyle\frac{GMm}{a^2}

を用いて

E = -\displaystyle\frac{GMm}{2a}

これに等しい力学的エネルギーをもつ軌道に対して

\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\displaystyle\frac{GMm}{2a}

第2法則から近地点・遠地点において

rv = h = {\rm const.}

以上から

r^2 - 2ar + \displaystyle\frac{ah^2}{GM} = 0

2つの解(近地点および遠地点距離)の和が2aであることから,長半径がaであることが示された。ぎりぎり高校物理レベルにおさまる点がいい。


【証明2】

軌道平面に極座標を適用して,エネルギー保存と角運動量保存を書くと,

\displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r} = E

r^2\dot{\phi} = h

両式より\dot{\phi}を消去して,

\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{mh^2}{2r^2} - \frac{GMm}{r} = E

運動が許される範囲は,

\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - \frac{mh^2}{2r^2} + \frac{GMm}{r} \ge 0

すなわち,

r^2 + \displaystyle\frac{GMm}{E}r - \frac{mh^2}{2E} \le 0

したがって,

r_{\rm min.} + r_{\rm max.} = -\displaystyle\frac{GMm}{E} = 2a

を得る。やはりこれが一番エレガントだろうか。
(初稿:2012/11/27)