ケプラーの第1・2法則を前提として,「力学的エネルギーによって衛星の軌道長半径が一意に定まること」の一般的証明。
ほとんど同じだが,2つの方法でやってみた。
【証明1】
力学的エネルギー
の円軌道の場合
を用いて
これに等しい力学的エネルギーをもつ軌道に対して
第2法則から近地点・遠地点において
以上から
2つの解(近地点および遠地点距離)の和がであることから,長半径がであることが示された。ぎりぎり高校物理レベルにおさまる点がいい。
【証明2】
軌道平面に極座標を適用して,エネルギー保存と角運動量保存を書くと,
両式よりを消去して,
運動が許される範囲は,
すなわち,
したがって,
を得る。やはりこれが一番エレガントだろうか。
(初稿:2012/11/27)