ポテンシャルの谷間の振動周期 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1139905321の質問から。なかなかホネのある問題？
【問題】
質量 $m$ の質点が力

$F=-\displaystyle\frac{\alpha}{x^2} + \frac{\beta}{x^3}\quad(\alpha>0,\beta>0,x>0)$

を受けて $x$ 軸上を運動する。質点を

$x=c　\left(\displaystyle\frac{\beta}{2\alpha}＜c＜\frac{\beta}{\alpha}\right)$

で静かに放すとき，振動の周期を求む。
f:id:yokkun831:20190311132544j:plain

【解答】
ポテンシャルエネルギーは，

$V(x) = -\displaystyle\int_0^x F(x)dx = -\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{2x^2}$

したがってエネルギー保存は，

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{2x^2} = E,\quad E = -\frac{2\alpha c-\beta}{2c^2}$

となる。 $v=0$ すなわち，

$E + \displaystyle\frac{\alpha}{x} - \frac{\beta}{2x^2} = 0$

の解を，

$x=c=a,\quad x=\displaystyle\frac{c\beta}{2\alpha c-\beta}=b$

とおくと， $a\le x \le b$ が積分範囲になる。エネルギー保存の式から $v$ を求めると，

$v = \displaystyle\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{x}-\frac{\beta}{2x^2}\right)}$

$\therefore dt = \sqrt{\displaystyle\frac{m}{-2E}}\cdot\displaystyle\frac{xdx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$

$\therefore T = 2\sqrt{\displaystyle\frac{m}{-2E}}\displaystyle\int_a^b\displaystyle\frac{xdx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$

ここで，

$x-\displaystyle\frac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2}\sin\theta,\quad dx = \frac{b-a}{2}\cos\theta d\theta$

と置換して積分すると，

$T = 2\sqrt{\displaystyle\frac{m}{-2E}}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{b-a}{2}\sin\theta + \frac{a+b}{2}\right)d\theta = \alpha\pi\sqrt\frac{m}{-2E^3}$

を得る。ただし，

$a+b = c + \displaystyle\frac{c\beta}{2\alpha c - \beta} = \frac{2\alpha c^2}{2\alpha c - \beta} = -\frac{\alpha}{E}$

を用いた。

積分変数の置換は，微積分のテキストからみつけたもので，ややトリッキーな感じがするが，やってみればなるほど…と納得のいく置換である。
（初稿：2010/04/24）

追記

$\alpha = GMm$ 　および、 $\beta = L^2/m$ により
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2 - \frac{GMm}{r}+\frac{L^2}{2mr^2}$
は惑星のエネルギーに対応することがわかる。

上の結果は、惑星の周期がその全エネルギーによって一意に決まること、いいかえればケプラーの第３法則を示している。

参考：
エネルギーによって軌道長半径が決まること - 科学のおもちゃ箱@Hatena
有効ポテンシャルと惑星の軌道 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

（2020/01/01）