多質点系の運動エネルギー （３）

相対運動

まとめにかかる。まずは、n質点系の運動エネルギーの総和が、重心の運動エネルギーと重心に対する相対運動エネルギーの和
T = \displaystyle\frac{1}{2} M{\dot{\boldsymbol{R}}}^2+\frac{1}{2}\sum_i m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2
で表されること。


重心の座標
\boldsymbol{R} = \displaystyle\frac{\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i}{M}　,　M=\displaystyle\sum_i m_i
として、
\boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{R}+{\boldsymbol{r}_i}^\prime より、

\displaystyle\frac{1}{2} \sum_i m_i {\dot{\boldsymbol{r}_i}}^2 = \frac{1}{2} \sum_i m_i(\dot{\boldsymbol{R}}+\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime)^2
　 = \displaystyle\frac{1}{2} \sum_i m_i({\dot{\boldsymbol{R}}}^2+2\dot{\boldsymbol{R}}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime+{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2)
　 = \displaystyle\frac{1}{2} M{\dot{\boldsymbol{R}}}^2+\frac{1}{2}\sum_i m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2

途中、\displaystyle\sum_i m_i {\boldsymbol{r}_i}^\prime = 0 を用いた。

次に、相対運動のエネルギーとして
\displaystyle\frac{1}{2}\sum_i m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2 = \frac{1}{2}\sum_{i\lt j}\frac{m_i m_j}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_i} - \dot{\boldsymbol{r}_j})^2
の成立を確認する。

\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i\lt j}\frac{m_i m_j}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_i} - \dot{\boldsymbol{r}_j})^2
　 = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_{i\lt j}m_i m_j(\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime - \dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime)^2
　 = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_{i\lt j}m_i m_j({\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2 - 2\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime\cdot\dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime+{\dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime}^2)
　 = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_i \sum_{j\ne i} m_i m_j({\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2 - \dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime\cdot\dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime)
　 = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_i\left(m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2\sum_{j\ne i}m_j - m_i \dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime \sum_{j\ne i}m_j\dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime\right)
　 = \displaystyle\frac{1}{2M}\sum_i \left(m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2\sum_j m_j - {m_i}^2{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2 - m_i \dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime \sum_{j\ne i}m_j\dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime\right)
　 = \displaystyle\frac{1}{2M} \sum_i\left(M m_i {\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2 - m_i\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime \sum_j m_j \dot{\boldsymbol{r}_j}^\prime\right)
　 = \displaystyle\frac{1}{2}\sum_i m_i {\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2
（Q.E.D.）