Yahoo!知恵袋から。回答しかけたら質問者が削除してしまった。ちょっとドキッとした問題。
【問題】
図のようになめらかな棒を鉛直な壁に対しての角度で立てかけて,手を離したとき,棒が壁から離れるときの壁に対する角度を求めよ。
第1回答者は,「棒は壁から離れずにたおれるはずだ」と言い切った。私は,問題を読んで,すぐに同様に考えていた自分を反省して,計算にとりかかり,いざ回答しようとしたところで,残念ながら質問者が質問を取り消してしまった。
※Algodooの設定は,である。
【解答】
床と壁の交点を原点とし,水平右方向に軸,鉛直上方に軸をとる。棒の長さをとおくと,壁との角度のとき重心の座標・速度・加速度は,
図のようにおくと,運動方程式は
エネルギー保存により,
ただし,上で棒の重心周りの慣性モーメントは,
である。エネルギー保存から,
ここで,とおくと,運動方程式の水平成分より。すなわち,
また,回転の運動方程式より,
さらに,運動方程式の鉛直成分より,
上の結果を代入して整理すると,
を得る。壁に接した端点または重心が,初めの高さから2/3の高さになるまですべり落ちた時点で,棒は壁を離れ始める。離れる瞬間は,重心速度の水平成分が一定に移行することから判定できる。
Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=401&file=Suberu-Bou.phz
(初稿:2010/06/10)