速度に比例する抵抗を受ける水平投射

放物運動

速度に比例する空気抵抗を受ける水平投射体の運動。十分な時間の後には，鉛直下方への等速度運動に移行する。OKWave>http://okwave.jp/qa/q7453827.htmlより。

【問題】

質量mの質点を時刻t=0で初速度v_0>0で水平方向に投げた。
運動はxy平面内で起こり，質点を打ち出した向きにx軸を，上向き鉛直にy軸をとり，初期の質点の位置を原点とする。質点は速度に比例した抵抗を受ける。これは-\eta\boldsymbol{v} と表現する。重力加速度を\boldsymbol{g}として次の各問いに答えよ。

(1) 質点の運動方程式をベクトルの形でかけ。
(2) (1)で得られた運動方程式を解き，質点の速度をtの関数として表せ。
(3) 質点の位置をtの関数として表せ。
(4) 質点がx軸方向に進むことのできる最大の距離を求めよ。
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【解答】
(1)

m\dot{\boldsymbol{v}} = m\boldsymbol{g} - \eta\boldsymbol{v}

x，y方向の単位ベクトル \boldsymbol{i},\boldsymbol{j} を用いれば

m(\dot{v}_x\boldsymbol{i} + \dot{v}_y \boldsymbol{j}) = -mg \boldsymbol{j} - \eta(v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j})

(2)

運動方程式を成分分解して

\dot{v}_x = -\displaystyle\frac{\eta}{m}v_x

\dot{v}_y = - g - \displaystyle\frac{\eta}{m}v_y

積分すると

v_x = v_0 \exp\left(-\displaystyle\frac{\eta}{m}t\right)

v_y = -\displaystyle\frac{mg}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}

(3)

さらに積分して

x = \displaystyle\frac{mv_0}{\eta}\left\{ 1 - \exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right) \right\}

y = -\displaystyle\frac{mg}{\eta}\left\{ t + \frac{m}{\eta}\exp\left(-\frac{\eta}{m}t\right)\right\}

(4)

t\rightarrow\infty　より

x_{\rm max} = \displaystyle\frac{mv_0}{\eta}

を得る。

Algodooシミュレーションの設定は，

m=1.0 {\rm kg} , v_0=10 {\rm m/s} , \eta=0.20 {\rm Ns/m}

である。
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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=573&file=Kuki-Teikou.phz

（初稿：2012/05/03）