「物理のかぎしっぽ数式掲示板」に寄せられた質問から,「ファインマン物理学」の力学の演習にあるトラスの問題。
【問題】
図のようなトラスで、対角線の支柱はみな5の長さ、水平の支柱はみな6の長さである。
つなぎめは蝶番でみな自由に動く。トラスの重さは無視できる。
a) 図のように荷をかけたとき、支柱のどれとどれは、針金で代用できるか。
b) 支柱BD,DEの内部にはたらく力を求めよ。
【解答】
本来,仮想仕事の原理の問題。しかし,a)ですべての力の正負を仮想仕事で判断するのはなかなか難しい。ファインマンダイヤグラムを発明するようなイメージの天才ならばまだしも。コツとしては,支柱の1本をばねに置き換えてEを下に引くとき,ばねが伸びるか縮むか…ということである。伸びる場合はもとの支柱内部の力は張力,縮む場合は抗力であったことになる。
いよいよとなれば,違反ではあるがつりあいから各連結が受ける力を求めるしかない。
連結点AおよびBが支柱ABから受ける張力をのように表せば、
たとえば連結点Aにおいて,
といった具合に連立させて、順次求めていけば
を得る。負になったものは抗力になるわけだ。
したがって,a)の答えは,張力が正であるAC,BC,CE,DE,EF,EGとなる。
せめて,b)は仮想仕事の原理をちゃんと使おう。
BDを縮めると,C点が下がる。
そこで,CGの水平から下がった角度をとおくと,点Eの下がりは。
同時にDからCEにおろした垂線が傾くので,これによるBDの縮みはである。
一方,ACが水平から下がる角度はとなる。
同時にBからACにおろした垂線が傾くので,これによるBDの縮みは。
合計でBDは縮む。仮想仕事の原理により,求める抗力をとすると
となり,を得る。
この結果は,ファインマンのテキストの解答と異なる。テキストが間違っているらしいことは,『Phun』によるシミュレーションでも確認できる。
同様にしてDEが受ける力を得る。
(初稿:2009/03/30)