Yahoo! 知恵袋から拾った問題。おもしろい小問だけつまみぐい。
【問題】
質量の質点が、原点Oからの距離に比例する中心力(:比例定数)を受けて、平面内で原点まわりの回転運動をする。
時刻に質点は、図のように 軸上()で原点からの距離の位置にあり、軸正方向から反時計回りに角度()の方向に速さをもって運動を始めた。
のとき、この質点と原点Oとの最短距離 を求めよ。
【解答】
力学的エネルギー保存により
角運動量保存により
を消去すると次のようなの方程式を得る。
ただし、
整理すると、
を得る。この解が最近距離と最遠距離を与える。
の近似をとると、
を得る。近似しているから厳密ではないが、に無関係になるところが興味深い。