安定平衡を解く３つの考え方 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】長さ $a$ の軽い棒が4本回転軸で連結され、上下の回転軸に $q>0$ 、左右の回転軸に $Q>0$ の電荷が固定されている。棒と電荷はなめらかな水平面上を自由に動くことができるとする。安定な平衡にあるときの角 $\theta$ を求めよ。
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(1) 位置エネルギーの極小点を求める

系の位置エネルギー変化に寄与するのは、 $q$ どうし、 $Q$ どうしの位置関係による分だけであるから、
$U(\theta) = \displaystyle\frac{k_0q^2}{2a \sin\theta} + \frac{k_0Q^2}{2a \cos\theta}$
$\theta$ で微分して
$\displaystyle\frac{dU}{d\theta} = \frac{k_0}{2a} \left(\frac{Q^2\sin\theta}{\cos^2\theta} - \frac{q^2\cos\theta}{\sin^2\theta}\right)$
これを 0 とする $\theta$ において、
$Q^2\sin^3\theta - q^2\cos^3\theta = 0$
すなわち、
$\tan\theta = \displaystyle\left(\frac{q}{Q}\right)^{\frac{2}{3}}$
を得る。これが $U(\theta)$ の極小点を与えることは明らかである。

(2) 仮想仕事の原理を使う

$\theta$ に対して無限小仮想変位 $\it{\Delta}\theta$ を考える。
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仮想仕事の原理より、
$\displaystyle\frac{k_0q^2}{(2a\sin\theta)^2}\Big\{a\sin(\theta+{\it{\Delta}} \theta) - a\sin\theta\Big\} - \frac{k_0Q^2}{(2a\cos\theta)^2}\Big\{a\cos\theta - a\cos(\theta+{\it{\Delta}} \theta)\Big\} = 0$
整理すると、
$\displaystyle\left(\frac{q^2\cos\theta}{\sin^2\theta} - \frac{Q^2\sin\theta}{\cos^2\theta}\right){\it\Delta}\theta = 0$
すなわち、
$\tan\theta = \displaystyle\left(\frac{q}{Q}\right)^{\frac{2}{3}}$
を得る。

(3) 力のつりあいを使う

棒1本に着目して、力のモーメントのつりあいを考える。受ける力は、 $q$ どうし、 $Q$ どうしの反発によって生じる力と、他の2本の棒から受ける張力である。この２つの張力は、大きさが等しく平行だから、棒の中点を軸とする力のモーメントが打ち消しあう。したがって、棒の中点を軸とする力のモーメントのつりあいは、
$\displaystyle\frac{k_0q^2}{(2a\sin\theta)^2}\cdot\frac{a}{2}\cos\theta = \frac{k_0Q^2}{(2a\cos\theta)^2}\cdot\frac{a}{2}\sin\theta$
すなわち、
$\tan\theta = \displaystyle\left(\frac{q}{Q}\right)^{\frac{2}{3}}$
を得る。

こうして３つの方法を比べてみると、考え方は異なるが、数学的には全く同じであることにあらためて気づく。(1)で位置エネルギーの角変位に対する微分をとったが、これは力のモーメントに他ならないこと。また、「てこの原理」が「仕事の原理」と同値であることと同じように、力のモーメントのつりあいが「仮想仕事の原理」と同値であることに注目したい。

Algodoo によるシミュレーション（ $Q:q=2:1$ ）
空気抵抗を大きく設定して、減衰振動をさせて平衡位置を確保。
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