実体振り子の重心

[問題]

重心を通る直線に沿った長さが l の剛体を、この直線上の両端A,Bを通り、直線ABに垂直で互いに平行な軸でつりさげて微小振動させたところ、周期が T_A,T_B となった。重心の位置を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを g とする。(オリジナル問題)
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[解答]

求める重心位置を点Aから距離 h とする。
質量を M、軸Aまわりの慣性モーメントを I_A とすると、角変位 \theta に対する運動方程式
 I_A \ddot\theta = -Mgh\cdot\theta
となる。角振動数は、
\omega_A = \sqrt{\displaystyle\frac{Mgh}{I_A}}
周期は、
T_A = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I_A}{Mgh}}
同様に軸Bまわりの振動に対して、
T_B = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I_B}{Mg(l - h)}}
を得る。

慣性モーメントに関する「平行軸の定理」により、
I_A = I_G + Mh^2
I_B = I_G + M(l-h)^2
ここに、I_G は重心まわりの慣性モーメントである。
辺々引くと
I_A - I_B = M\{h^2 - (l - h)^2\}
上の周期の式を反映させれば、
\displaystyle\frac{Mg}{4\pi^2}\{{T_A}^2h - {T_B}^2(l - h)\} = M\{h^2 - (l - h)^2\}
h について解けば、
h = \displaystyle\frac{4\pi^2l - g{T_B}^2}{8\pi^2l - g({T_A}^2+{T_B}^2)}\cdot l
を得る。

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Algodooによるシミュレーション