近日点から遠日点を得る

中心力場

惑星運動のスタンダードな問題。

【問題】

ある惑星の近日点距離 r_0 において、速さが v_0 であったとする。遠日点での距離 r_1 および速さ v_1 を求めよ。ただし、惑星質量 m、太陽質量 M、万有引力定数 G とする。

【解答】

面積速度一定（角運動量保存）により
r_0 v_0 = r_1 v_1
力学的エネルギー保存により
\displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2 - \frac{GMm}{r_0} = \frac{1}{2}m{v_1}^2 - \frac{GMm}{r_1}

第１式より
v_1 = \displaystyle\frac{r_0 v_0}{r_1}
第２式に代入して整理すると
{v_0}^2\displaystyle\frac{{r_1}^2 - {r_0}^2}{{r_1}^2} = GM\frac{r_1 - r_0}{r_0 r_1}
両辺を r_1 - r_0 \ne 0 で割ってさらに整理すると
r_1 = \displaystyle\frac{{r_0}^2{v_0}^2}{2GM - r_0 {v_0}^2}
v_1 = \displaystyle\frac{2GM - r_0{v_0}^2}{r_0 v_0}
を得る。

f:id:yokkun831:20200229084024p:plain
Algodooによるシミュレーション