連星系の崩壊

中心力場

http://okwave.jp/qa/q6149778.htmlのQ&Aより。相互に円軌道を描く連星系の回転が突然静止したとして，接近衝突までの時間を問う。
【問題】
万有引力のもとで２つの質点が周期 \tau で互いに円運動をしている。ある瞬間に２つの質点を止め、次に放すと２つの質点は時間 \tau/(4\sqrt 2) の後に衝突することを示せ。
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途中の煩雑な計算過程は省略し，概略のみ示す。

まずは円運動。

２質点間の距離を r_0 ，質量を M,m とおく。
換算質量 \mu = Mm/(M+m) として，円運動の方程式は，

\mu r_0\left(\displaystyle\frac{2\pi}{\tau}\right)^2 = \displaystyle\frac{GMm}{{r_0}^2}
（質点個別に立ててもこの式に帰着する）

\therefore \tau = \displaystyle\frac{2\pi{r_0}^{3/2}}{\sqrt{G(M+m)}}

次に後半の接近。

２質点間の距離を r(t),r(0)=r_0 として，運動時間を求める。

エネルギー保存は

\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 - \displaystyle\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{r_0}
（質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着する）

整理すると，

\displaystyle\frac{dr}{dt} = -\sqrt{ 2G(M+m)\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) }

求める時間 T は，

T = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2G(M+m)}}\times I,\qquad I = \displaystyle\int_0^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}}}

積分 I を計算する。 u=\sqrt{1/r - 1/r_0}　とおくと，

I = 2\displaystyle\int_0^\infty\frac{du}{(u^2 + 1/r_0)^2}

さらに，u = \tan\theta/\sqrt{r_0}　とおくと，

I = 2{r_0}^{3/2}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{2}

したがって，

T = \displaystyle\frac{\pi {r_0}^{3/2}}{ 2\sqrt{2G(M+m)} } = \frac{\tau}{4\sqrt 2}

を得る。

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※　Algodooシーンの設定は，r0=8.0m, M=3.0kg, m=1.0kg, G=8.0Nm^2kg^2 である。

Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=425&file=Rensei.phz

（初稿：2010/09/01）