質点がついた円板の微小振動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

前問　質点がついた軽い円板の微小振動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena　に対して、円板の質量が無視できない場合。

【問題】

質量が $M$ 、半径 $R$ の一様な円板上，中心から距離 $r$ のところに質量 $m$ の質点が固定されている。鉛直面上で円板が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき，その周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。
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前問と同様に考え、円板の運動エネルギーを加える。
系のエネルギーは

$E = \displaystyle\frac{1}{2}m\left(R^2 - 2Rr\cos\theta + r^2\right){\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}MR^2{\dot\theta}^2 - mgr\cos\theta$

となる。ここで，微小振動の近似をとって

$\cos\theta = 1 - \displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

とし，定数を省けば

$E = \displaystyle\frac{1}{2}m\left(R-r\right)^2{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}mr\theta^2\left(g + R{\dot\theta}^2\right) + \frac{3}{4}MR^2{\dot\theta}^2$

ここで，

$R{\dot\theta}^2 \ll g$

を仮定してその影響を無視すると，

$E = \displaystyle\frac{1}{2}\left\{m\left(R-r\right)^2+\frac{3}{2}MR^2\right\}{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}mgr\theta^2$

これを単振動のエネルギー

$E = \displaystyle\frac{1}{2}\mu{\dot{x}}^2 + \frac{1}{2}\kappa x^2$

とみれば，角振動数

$\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{\kappa}{\mu}} = \sqrt{\displaystyle\frac{mgr}{m(R-r)^2+3MR^2/2}}$

を得，周期は

$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m(R-r)^2+3MR^2/2}{mgr}}$

となる。

Algodooシミュレーションは，適当な $\alpha$ においてほどよく近似の理論値に一致した。設定は $R=12{\rm m},r=4.0{\rm m}$ である。円板の質量は $M=200{\rm kg}$ 、質点の質量は $m=100{\rm kg}$ とした。
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