惑星軌道方程式のエレガントな導出

中心力場

知恵袋のすぐれた回答から拾ったもの。本来の目標は、エネルギー保存と角運動量保存により「ケプラーの第一法則」すなわち楕円軌道を導く。

運動方程式
m \ddot{\boldsymbol{r}} = - \displaystyle\frac{GMm\boldsymbol{r}}{r^3}
により、角運動量保存
\displaystyle\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = m\frac{d(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}})}{dt} = m(\boldsymbol{r}\times\ddot {\boldsymbol{r}}) = \boldsymbol{r}\times\left(-\frac{GMm\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \boldsymbol{0}

ここで、次のようなベクトル積をとる。
\ddot{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{L} = \ddot{\boldsymbol{r}}\times m(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}}) = -\displaystyle\frac{GM\boldsymbol{r}}{r^3}\times m(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}})\\ = -\displaystyle\frac{GMm}{r^3}\big\{\boldsymbol{r}(\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}) - \dot{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r})\big\}\\ = GMm\left(\displaystyle\frac{\dot{\boldsymbol{r}}}{r} - \frac{\dot{r}\boldsymbol{r}}{r^2}\right) = GMm \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r}\right)
途中、ベクトル三重積の公式と \boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} = r\dot{r} を用いた。

両辺を時間積分すると、\boldsymbol{e} を定ベクトルとして
\dot{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{L} = GMm\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r} + \boldsymbol{e}\right)
\boldsymbol{r} との内積をとると、
(\dot{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{L})\cdot\boldsymbol{r} = GMm\left(\displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r} + \boldsymbol{e}\right)\cdot\boldsymbol{r}
左辺にスカラー三重積の公式を適用し、\boldsymbol{e},\boldsymbol{r} のなす角を \phi とおけば、
(\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{r}})\cdot\boldsymbol{L} = GMmr( 1 + e\cos\phi )
すなわち、
L^2 = GMm^2r(1+e\cos\phi)
よって
r = \displaystyle\frac{L^2}{GMm^2(1+e\cos\phi)}
を得る。これは、２次曲線の極座標形式だが、惑星が太陽まわりに束縛されているから、 0\le e \lt 1 の楕円にほかならない。