円柱の段差乗り上げ

角運動量保存を用いる問題。転がってきた円筒が,段差を乗り上げないための限界高さを求める。

【問題】

半径 r,質量 m の密度一様な円柱が,角速度 \omega_0 で回転し,すべることなく転がってきて高さ h の突起に衝突する。このとき円柱が突起を越えて段差を乗り上げないための h の下限を求む。ただし,突起は十分粗くて円柱のすべりは起こらず,また衝突後のはねかえりもないものとする。
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※Algodooの設定は,r=1.0 [m], \omega_0=3.0[rad/s] である。
Algodooシーンのダウンロード>
http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=417&file=Step-up.phz

【解答】

突起との衝突時に受ける撃力は,突起まわりのトルクを持たないので,突起まわりの角運動量は衝突前後で保存される。衝突直後の角速度を \omega とすると,

mr\omega_0(r-h) + \displaystyle\frac{1}{2}mr^2\omega_0 = \left(\frac{1}{2}mr^2 + mr^2\right)\omega
\therefore \omega = \displaystyle\frac{(3r-2h)}{3r}\omega_0

衝突後のある時刻における,突起と中心を結ぶ半径の仰角 \theta として,エネルギー保存則により

\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^2\right)\dot{\theta}^2 + mgr \sin\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}mr^2\right)\omega^2 + mg(r-h)

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突起を越える限界において,\theta=\pi/2 のとき \dot\theta=0 より

mgr > \displaystyle\frac{3}{4}mr^2\left\{ \frac{(3r-2h)\omega_0}{3r} \right\}^2 + mg(r-h)

h について整理すると,

h^2 - \displaystyle\frac{3(g+r{\omega_0}^2)}{{\omega_0}^2}h +\frac{9r^2}{4} < 0

題意に沿う範囲は,

h > \displaystyle\frac{3}{2{\omega_0}^2}\left\{ g + r{\omega_0}^2 -\sqrt{ g(g+2r{\omega_0}^2) }\right\}

となる。

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ぎりぎり乗り上げたところ(h=0.38[m])

(初稿2010/07/26)