二重振子のモード

二重振子の規準振動(ノーマルモード)のときに現れる,
糸でつながれた点電荷の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
と同じ最大速問題。
下図のような二重振子の微小振動を考える。
f:id:yokkun831:20201122202139j:plain



ラグランジアンは,
二重振子の運動方程式 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
でも紹介したように

L = \displaystyle\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})^2 + mgl\cos\theta_1 + mgl(\cos\theta_1+\cos\theta_2)

    ※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。

微分すると

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -2mgl\sin\theta_1 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} = ml^2(2\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -mgl\sin\theta_2 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} = ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})

微小振動の近似をとって,運動方程式

\ddot{\theta_1} = -\displaystyle\frac{g}{l}(2\theta_1-\theta_2)

\ddot{\theta_2} = -\displaystyle\frac{2g}{l}(\theta_2-\theta_1)

となる。

\theta_1および\theta_2が等しい振動数をもつ規準振動(ノーマルモード)の角振動数を求める。

\theta_1 = \theta_{10}e^{-i\omega t} \quad , \quad \theta_2 = \theta_{20}e^{-i\omega t}

として,運動方程式に代入すると条件

\displaystyle\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{2g/l-\omega^2}{g/l} = \frac{2g/l}{2g/l-\omega^2}\quad {\rm or} \qquad \left|\begin{array}{cc} 2g/l-\omega^2\qquad 2g/l\\\quad g/l\qquad 2g/l-\omega^2\end{array}\right| = 0

を得る。これを解くと,

\omega^2 = (2\pm\sqrt 2)\displaystyle\frac{g}{l}\quad , \quad \frac{\theta_2}{\theta_1} = \mp\sqrt 2

となる(複号同順)。
数値解析およびAlgodooシミュレーションによると,\theta_1,\theta_2の変位が逆の場合のモードに対して,
糸でつながれた点電荷の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
と同じ最大速の問題が生じる。すなわち,下の質点の速さが最大値をとるのは最下点ではない。
f:id:yokkun831:20201122202629j:plain
Mathcadによる数値積分結果(微小振動近似による周期の誤差が見られる)
f:id:yokkun831:20201122202712j:plain
Algodooによるシミュレーション
Algodooシーンのダウンロード
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=354&file=Rensei.phz
動画
www.youtube.com


(初稿:2010/02/12)