地表座標系

地球表面は宇宙空間に対する地球自身の運動のために、非慣性系となっている。地球は太陽の重力のままに自由運動していることを考えれば、宇宙船地球号の内部は太陽の重力に対しては「無重量状態」にある。つまり、簡単にいうと公転による遠心力と太陽重力とがつりあっていて、宇宙船地球号の内部の運動には太陽重力は直接に関与しない。わずかながら「潮汐力」が関与するのみである。したがって、非慣性系の主たる要因は地球自転である。

ある問題への予習として、地表座標系における運動方程式についてまとめておきたい。
その基本は、
運動座標系による運動方程式(1) - 科学のおもちゃ箱@Hatena
運動座標系による運動方程式(2) - 科学のおもちゃ箱@Hatena
で触れた「運動座標系による運動方程式」にある。

質点の位置ベクトルをS系(慣性系)で\boldsymbol{r},S'系(非慣性系)で \boldsymbol{r}^\primeと書く。ある瞬間に,S'系の原点がS系から見て\boldsymbol{r}_0にあり,さらにS'系がS系に対して角速度\boldsymbol{\omega}で回転しているとすると,

\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{r}^\prime

に対するS'系における運動方程式

m\displaystyle\frac{\rm{D}^2\boldsymbol{r}^\prime}{{\rm d}t^2} = \boldsymbol{F} - m\frac{{\rm d}^2\boldsymbol{r}_0}{{\rm d}t^2} - 2m\boldsymbol{\omega}\times\frac{\rm{D}\boldsymbol{r}^\prime}{{\rm d}t} - m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime) - m\frac{{\rm d}\boldsymbol{\omega}}{{\rm d}t}\times\boldsymbol{r}^\prime

となる。ここに \rm{D/d}t は、S'系におけるベクトルの「素直な」時間微分、すなわち基底の変化を考慮しない「成分のみの時間微分」を指す。したがって、この微分演算子はS'系におけるベクトルにのみ作用する。

右辺第2項は並進加速度による慣性力,第3項はコリオリ力,第4項は遠心力,第5項は角速度の変化(回転の加速,回転軸の移動)による慣性力をそれぞれ意味している。

さて、これを緯度 \lambda の地表に固定したS'系に適用する。南方に x軸、東方に y軸、鉛直上方に z軸をとる。S'系は、地球自転とともに地軸に対して角速度 \boldsymbol{\omega} で運動する座標系である。

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S系に対するS'系の原点O'の速度は、

\displaystyle\frac{\rm{d}\boldsymbol{r}_0}{{\rm{d}}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_0

同様に加速度は、

\displaystyle\frac{\rm{d}^2\boldsymbol{r}_0}{{\rm{d}}t^2} = \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_0)

となる。したがって、運動方程式右辺第2項は

-m\displaystyle\frac{\rm{d}^2\boldsymbol{r}_0}{{\rm{d}}t^2} = -m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}_0) = m\omega^2r_0 \cos\lambda(\sin\lambda \boldsymbol{e}_x + \cos\lambda\boldsymbol{e}_z)

となる。これは自転による遠心力である。

あれれ、遠心力は運動方程式右辺第4項にすでにあるではないか? 否。こちらこそが自転の遠心力であって、右辺第4項はS'上で原点から離れるために生じる余分なのである。こちらは、r'\ll r_0 によってむしろ無視できるわけだ。

次にコリオリ力。自転による角速度ベクトルのS'系における成分は

\omega_x = -\omega \cos\lambda
\omega_y = 0
\omega_z = \omega \sin\lambda

したがって、

-2m\boldsymbol{\omega}\times\displaystyle\frac{\rm{D}\boldsymbol{r}^\prime}{{\rm d}t} = 2m\omega\sin\lambda\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \boldsymbol{e}_x - 2m\omega\left(\sin\lambda\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + \cos\lambda\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\right)\boldsymbol{e}_y + 2m\omega\cos\lambda\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}\boldsymbol{e}_z

となる。ただし、

\displaystyle\frac{{\rm D}\boldsymbol{r}^\prime}{{\rm d}t} = \left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}, \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}, \frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\right)

はS'系における速度ベクトルの「素直な」表現である。

かくして、地表付近の運動方程式は次のように表される。

m\displaystyle\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} = F_x + m\omega^2r_0 \cos\lambda\sin\lambda + 2m\omega\sin\lambda\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}
m\displaystyle\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2} = F_y  - 2m\omega\left(\sin\lambda\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + \cos\lambda\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\right)
m\displaystyle\frac{{\rm d}^2z}{{\rm d}t^2} = F_z - mg + m\omega^2r_0\cos^2\lambda + 2m\omega\cos\lambda\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}

後々のため遠心力項を書いたが、実際の地表座標系では遠心力は重力に含まれるので、

m\displaystyle\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} = F_x + 2m\omega\sin\lambda\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}
m\displaystyle\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2} = F_y  - 2m\omega\left(\sin\lambda\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + \cos\lambda\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}\right)
m\displaystyle\frac{{\rm d}^2z}{{\rm d}t^2} = F_z - mg +2m\omega\cos\lambda\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}

となる。

【参考】
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap13.pdf