フーコーの振り子の運動方程式 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

デカルト座標から平面極座標への変換

$\ddot{x} + \displaystyle\frac{g}{l} x = 2\Omega\sin\theta\cdot \dot{y}$
$\ddot{y} + \displaystyle\frac{g}{l} y = -2\Omega\sin\theta\cdot \dot{x}$

ただし、 $\Omega$ は自転角速度、 $\theta$ は緯度（北緯）である。 $z$ 方向の運動方程式は変位微小として無視する。

見るからに平面極座標向きに見える。ベクトル方程式から直接極座標形式を得ることもできるが、やっかいな座標変換をたまにはやってみよう。

$x = r\cos\phi \\ y = r\sin\phi$

時間微分して

$\dot{x} = \dot{r}\cos\phi - r\dot{\phi}\sin\phi \\ \dot{y} = \dot{r}\sin\phi + r\dot{\phi}\cos\phi$

さらに微分して

$\ddot{x} = (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\cos\phi - (2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi})\sin\phi \\ \ddot{y} = (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\sin\phi + (2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi})\cos\phi$

もとの運動方程式に代入すると

$A(r,\phi)\cos\phi - B(r,\phi)\sin\phi = 0 \\ A(r,\phi)\sin\phi + B(r,\phi)\cos\phi = 0 \\ {\rm ただし、} \\ A(r,\phi) = \ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2 + \displaystyle\frac{g}{l} r - 2\Omega \sin\theta\cdot r\dot{\phi} \\ B(r,\phi) = 2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi} + 2\Omega\sin\theta\cdot\dot{r}$

を得る。

2乗の和をとると、

$A^2 + B^2 = 0$

すなわち、
$A(r,\phi) = 0 \\ B(r,\phi) = 0$

第1式が $r$ 方向の運動方程式、第2式が $\phi$ 方向の運動方程式である。

運動方程式を解く（平面極座標）

$\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2 + \displaystyle\frac{g}{l} r - 2\Omega \sin\theta\cdot r\dot{\phi} = 0 \\ 2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi} + 2\Omega\sin\theta\cdot\dot{r} = 0$