雲層内での水滴の成長

物理数学

【問題】

雲層の中で水滴が落下しながら成長する。初期半径 R_0=150 μm の水滴が500m落下したときの半径はおよそいくらか。ただし、雲層内の雲水量は \rho^\prime=1.3\times10^{-3} [kg/m³] で一定とし、雲層内の上昇流は水滴の落下速度に比べて十分小さく、水滴の半径 R の時間成長率は

\displaystyle\frac{dR}{dt} = \frac{E}{4\rho} u(R) \int_0^\infty \frac{4\pi}{3} r^3 \rho n(r)dr

で与えられる。ここで E は補足係数 0.6、\rho は水の密度 1.0\times10^3 [kg/m³] とする。また、n(r) は雲層の粒径分布（半径 r～r+drの水滴の数密度が n(r)dr となる）、u(R) は水滴の速度である。

答：250 μm

【解答】

微小時間 dt に半径が dR 変化したとすると
拾い集める質量は E\rho^\prime\cdot \pi R^2\cdot udt
これが質量増加分 \rho\cdot 4\pi R^2dR になるので

\rho\cdot 4\pi R^2dR = E \rho^\prime \pi R^2\cdot udt

したがって、

dR = \displaystyle\frac{E\rho^\prime}{4\rho}\cdot udt

※結果的に与えられた式の右辺積分は \rho^\prime にほかならない。
積分を実行すれば

{\it\Delta} R = \displaystyle\frac{E\rho^\prime}{4\rho}\cdot {\it \Delta}z\\ = \displaystyle\frac{0.6×1.3×10^{-3}}{4×1.0×10³}\cdot 500\\ = 1.0×10^2×10^{-6}{\rm m}

R = R_0+{\it\Delta}R = 250 [μm]

を得る。