実体振り子が軸から受ける力

振動

2次元実体振り子が支点（回転軸）から受ける力を考察する。

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振り子は剛体であるとし、その質量を M、重心まわりの慣性モーメントを Mr^2（r はいわゆる「回転半径」）、支点から重心までの距離を l とする。角変位を鉛直下方から \theta とし、その初期値を \theta_0 とする。角変位 \theta に対する、軸から受ける力 F(\theta) およびその鉛直上方からの角度 \phi(\theta) を求める。

軸から重心へ向かう方向の運動方程式は

Ml{\dot{\theta}}^2 = F\cos(\theta - \phi) - Mg\cos\theta　…①

重心まわりの回転の運動方程式

Mr^2\ddot{\theta} = -Fl\sin(\theta - \phi)　…②

支点まわりの回転の運動方程式

M(r^2 + l^2)\ddot{\theta} = - Mgl\sin\theta　…③

力学的エネルギー保存により

-Mgl\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{1}{2}M(r^2+l^2){\dot{\theta}}^2 - Mgl\cos\theta　…④

②③より \ddot{\theta} を消去して

F = \displaystyle\frac{Mgr^2\sin\theta}{(r^2+l^2)\sin(\theta - \phi)}

を得る。

④より

{\dot{\theta}}^2 = \displaystyle\frac{2gl}{r^2+l^2}(\cos\theta - \cos\theta_0)

F とともに①に適用すれば

Ml\cdot\displaystyle\frac{2gl}{r^2+l^2}(\cos\theta - \cos\theta_0) = \frac{Mgr^2\sin\theta\cos(\theta - \phi)}{(r^2+l^2)\sin(\theta - \phi)} - Mg\cos\theta

整理すると

\tan(\theta - \phi) = \displaystyle\frac{r^2\sin\theta}{(r^2+3l^2)\cos\theta - 2l^2\cos\theta_0}

すなわち、

\phi = \theta - \tan^{-1}\displaystyle\frac{r^2\sin\theta}{(r^2+3l^2)\cos\theta - 2l^2\cos\theta_0}

を得る。

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θ₀=60°からのシミュレーション。φが極大をとる位置が存在する。