ポインティングベクトルによる磁気エネルギーの流入

電磁気

知恵袋から拾った問題。
(a) に示すような半径 a、長さ l の円筒状１ターンコイルに、(b) に示すような電流 I(t) を流す。ただし、電流は一様であるとする。l\gg a であり、コイル外部の磁場は０としてよい。なお、透磁率は全領域で \mu とする。

コイルが内部につくる磁場は

H(t) = \displaystyle\frac{I}{l}

磁気エネルギー密度

u = \displaystyle\frac{1}{2} \mu H^2

により t\gt T においてコイル内部にたくわえられる磁気エネルギーは

U_m = u\cdot \pi a^2 l = \displaystyle\frac{\mu {I_0}^2\cdot \pi a^2}{2l}

この磁気エネルギーをポインティングベクトルによって流入したものと考えて評価しなおしてみる。

時刻 t\;(0\lt t \lt T) においてコイル内表面に生じる誘導電場は

E = \displaystyle\frac{1}{2\pi a}\frac{d\Phi}{dt} = \frac{\mu I_0 a}{2lT}

ポインティングベクトルの大きさは

S = EH = \displaystyle\frac{\mu {I_0}^2 a}{2l^2T^2} \cdot t

向きは円筒軸方向となる。ポインティングベクトルは、ベクトルに垂直な単位面積を単位時間あたりに通過するエネルギー流を表す。したがって、時刻 t\;(0\lt t \lt T) においてコイル内部に伝送される電力は

P = S \cdot 2\pi al = \displaystyle\frac{\mu {I_0}^2\cdot \pi a^2}{lT^2} \cdot t

したがって、時刻 t=T までに流入するエネルギー

U_m = \displaystyle\int_0^T P dt = \frac{\mu {I_0}^2\cdot \pi a^2}{2l}

を得る。