基本ベクトルの変換 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

座標変換における基本ベクトルの変換についてまとめてみた。

直交座標から球座標への変換を考えよう。

$\boldsymbol{r} = r \boldsymbol{e}_r = x \boldsymbol{e}_x + y \boldsymbol{e}_y + z \boldsymbol{e}_z$

微分をとると
$d\boldsymbol{r} = (dr, r d\theta, r\sin\theta d\phi) \begin{matrix}\\\\\ \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi \end{pmatrix}\end{matrix} = (dx, dy, dz)\begin{matrix}\\\\\ \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{pmatrix}\end{matrix}$

ここで

$dr = dx \boldsymbol{e}_x\cdot \boldsymbol{e}_r + dy \boldsymbol{e}_y\cdot \boldsymbol{e}_r + dz \boldsymbol{e}_z\cdot \boldsymbol{e}_r\\ = (dx, dy, dz) \begin{matrix}\\\\\ \begin{pmatrix} S_\theta C_\phi\\S_\theta S_\phi\\C_\theta\end{pmatrix}\end{matrix}$
ただし、
$S_\theta = \sin\theta$
などと略記した。

$r d\theta, r\sin\theta d\phi$ についても同様にして、これらを上に適用すれば、

$\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}S_\theta C_\phi\quad S_\theta S_\phi\quad C_\theta\\C_\theta C_\phi\quad C_\theta S_\phi\quad -S_\theta\\-S_\phi\qquad C_\phi\qquad 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{pmatrix}$

を得る。

最終結果を

${\sf P} = R {\sf X}$

と書くことにする。

演習問題として、 ${\sf P}$ の時間微分を求める。

$\displaystyle\frac{d \sf P}{dt} = \frac{dR}{dt} {\sf X} = \frac{dR}{dt} R^{-1} {\sf P}$

となるから、たとえば

$\displaystyle\frac{d \boldsymbol{e}_\theta}{dt} = - \dot{\theta} {S_\theta}^2 \boldsymbol{e}_r - \dot{\theta} S_\theta C_\theta \boldsymbol{e}_\theta + \dot{\phi} C_\phi \boldsymbol{e}_\phi$

を得る。