重力の下で質点が摩擦なく曲面を滑り降りるとき、落下鉛直距離 を実現する曲面の形状 を決める。「知恵袋」から拾った問題だが、Copilot 先生に聞いてみた。https://copilot.microsoft.com/shares/PJpdAS8tJVe2BbRqkzJfH概要を整理する。水平方向に 軸、鉛直…
なかなか刺激的な問題。 一様密度モデルと2層構造モデルの内部圧力の考察。 【問題】 (1) 地球が球対称な構造を持つと仮定すると、地球中心からの距離が（ は地球半径）における重力加速度の大きさは、半径 よりも内側の質量が地球中心の一点に集まった場合…
ちょっとおもしろい問題を拾った。 【問題】 幅 の車が道路の幅員ぎりぎりに一定の速さ で進んでいる。この車の前方 の地点から、歩行者が車道から角度 の方向に一定の速さでまっすぐに歩くとする。このとき車に衝突せずに無事に横切るためには、歩行者がど…
【問題】 摩擦や抵抗なく慣性によって速度 で走行する（ボール以外の）総質量 の台車から、質量 のボールを進行前方に相対速度 で水平投射した（ は投射後の台車に対する相対速度とする）。この投射に要したエネルギーを求めよ。
ケプラーの第3法則 「惑星の周期の2乗は軌道長半径の3乗に比例する」円軌道限定の導出は簡単だが、一般楕円軌道についてちゃんと考えたことがなかった。 第2法則すなわち面積速度一定（角運動量保存）を前提として、楕円面積を面積速度で割れば周期を得る、…
電磁場中を運動する陽子の相対論的ラグランジアンはただし、であった。するとハミルトニアンは、となるが、ハミルトニアンは一般化座標と一般化運動量の関数だから、 に含まれる速度は一般化運動量に書き換えなければならない。
電磁場中を運動する陽子の相対論的ラグランジアンはただし、と書ける。ここからラグランジュ方程式を導出することによって、ローレンツ力による相対論的運動方程式の表式を得る。
【問題】 半径 の円筒形の宇宙ステーションが無重力空間の下で軸まわりに角速度 で自転して遠心力による仮想重力をつくっている。円筒面上から「鉛直」上方すなわち中心軸に向かう方向に初速 で投げ上げた小球の最高点の円筒面からの高さ を求めよ。また、落…
緯度・経度によって与えられた2地点からの方角で目標点の緯度・経度を決める問題。ただし、方角というのは、その角度の測地線（大円）上に目標点がある、という意味である。「知恵袋」から拾った問題で興味をもったので、取り組んでみることにした。球面三角…
【問題】 打球の初速の最大値を と設定したとき、打ち上げ角度にかかわらず打球が天井にぶつからないようにするためには、ホームから の水平距離におけるドームの高さは少なくともどれだけなければならないか。重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視で…
下記において、質点集合としての剛体の運動量・角運動量・運動エネルギーが、重心運動と重心に対する相対運動のものに分離できることを考察した。質点系としての剛体の物理量 - 科学のおもちゃ箱@Hatena今回は、多質点系の総運動量・総角運動量の時間変化率…
【問題】 水平面上におかれた質量 で半径 の半円筒の最高点に質量 の小球をおいて静かに放したところ、小球は半円筒を滑り降りて、半円筒も水平に動き出した。重力加速度の大きさを とし、運動においていかなる摩擦・抵抗も無視できるものとする。(1) 中心角…
【問題】 粗い水平面におかれた質量 、半径 で慣性モーメントが の円筒に軽い糸を巻き、軽い滑車を通して他端に質量 のおもりを下げて静かに放したら、おもりは下降し円筒はすべることなく転がった。重力加速度の大きさを として、おもりの下降の加速度を求…
質量 の質点が鉛直軸まわりに角速度 で回転する半径 のリングに沿って摩擦なく運動する。鉛直下方からの角度を としてこの円錐振り子の安定性を考察する。
比熱測定ミスの問題にはいつも混乱させられる。以前考察した「水槽モデル」でわかりやすい説明を試みてみた。 液体モデルと熱量保存問題 - 科学のおもちゃ箱@Hatena 液体モデルと熱量保存問題（その２） - 科学のおもちゃ箱@Hatena
下記で浮力による位置エネルギーについて考察した。 浮力による位置エネルギー - 科学のおもちゃ箱@Hatena今回見つけた浮体の単振動および等加速度による浮上について考察させる問題の最後に、次のような小問があった。【問題】 長さ 、断面積 で質量 の円柱…
【問題】 中空の直線チューブが原点Oを中心に角速度 で回転し、その中を質量 の質点が滑らかに移動している。質点が内側の壁から受けた垂直抗力は であった。回転座標系 での質点の運動方程式をたてよ。回転する棒上のリングの運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena…
地球貫通トンネル問題で、地球内部の位置エネルギーを直接万有引力の位置エネルギーの考察によって導出できないかという質問に対する回答。
「領域の境界面での電場の法線成分と，領域内の電荷分布がすべて定められていれば，これらの境界条件とポアソン方程式を満たす解は一種類である」ことを証明せよ。ChatGPT に聞いてみました。電場の法線成分と領域内の電荷分布が定められているとき、これら…
ポテンシャル の下にある粒子の相対論的ラグランジアンはと書ける。ただし、 では、相対論的ハミルトニアンはどうなるか？まず、 に共役な運動量は となる。ハミルトニアンの定義により上の運動量の表式から すなわち となるから、これを適用してを得る。
座標変換における基本ベクトルの変換についてまとめてみた。直交座標から球座標への変換を考えよう。微分をとると ここで ただし、 などと略記した。 についても同様にして、これらを上に適用すれば、を得る。最終結果をと書くことにする。演習問題として、 …
質量 のなめらかな円筒面をもつ台が、なめらかな水平面上に静止している。半径 の円筒面の中心軸と同じ高さから質量 の質点をすべらせたとき、中心角 となったときの台の速度 、小球の速度 を求める。水平方向の運動量保存とともに、力学的エネルギー保存を…
単振動の運動方程式 をエネルギー積分を介して積分する。 をかけて すなわち 積分すると すなわち ただし、 とおいた。 と置換して積分を実行すれば、 ただし、複号は初期位相 に吸収した。すなわち を得る。
ポテンシャルエネルギーの本質にせまるQ＆A。 【質問】 コンデンサーの静電エネルギーについて、電気量が のときから になるまでに外力が運んだ電荷に蓄えられる位置エネルギーは だと思います。 これを電気量が0のときから のときまで積分することで静電エ…
「ファインマン物理学」演習より。振子の振れによって弾丸の速さを測定する。【問題】 バリスティック振子（ballistic pendulum = 弾道振子）は，振子に弾丸を撃ち込んで振れた幅から弾丸の速さを測定する装置である。振子が長さ の質量が無視できる棒と，質…
質量 の質点が原点をつり合い位置とし、ばね定数 の十分に長い２つのばねで 軸からの角度180°および300°方向に支持され、 平面内で微小振動する。この2自由度系に対する固有振動を考察する。
