【問題】 断面積 のＵ字管に，密度 の液体が長さ だけ入っている。液面がつりあい位置からずれて起こる液柱の振動の周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを とし，液体と管壁の間の摩擦や，液体の粘性などの影響は無視してよい。 ※ Algodooの設定は，[m…

一般相対論のきわめて身近な応用の好例。GPS衛星は地上との交信を通じて，地上局（GPSアンテナ）の位置を割り出すデータをやり取りするうえで，地上の時刻とぴったりあった時計を必要とする。しかし，地球重力と地球周りの公転のために相対論的な補正が必要…

【問題】 図のような溝に重さ の正方形の板がすっぽり収まっている。板と溝の間の静止摩擦係数 として、板が溝に落ちないように右上で支えるのに必要な力の最小値 を求めよ。（ヒント：溝と正方形の接触点に留意！）

コリオリ力が支配するフーコーの振り子の運動方程式を解く。

一見単純に見えて解析が困難な運動は多数あるが、これはそのひとつといえるだろう。断面が楕円形の板が水平面を滑らずに転がる運動である。もう少しエレガントな手法があるかもしれないが、とりあえずパラメーターを用いた軌跡を束縛条件として取り込む方法…

2本のばねに引かれた質点の縦振動と横振動における，スリンキー近似（自然長 平衡長）と小振動近似（変位 平衡長）の比較。自然長 から平衡長 に伸びた，ばね定数 の2本のばねに左右に引かれ，なめらかな平面上で運動する質量 の質点の縦振動および横振動に…

久しぶりに刺激的でおもしろい問題に出会った。 【問題】 固定されたなめらかな円筒に軽くて伸びない糸を 回巻きつけ、一端に質点Pをつないで、他端を一定の速さ で引く。初め、円筒に巻きついていない部分の糸は 軸と平行になっている。Pは速さ で円筒に近…

連星系の崩壊 - 科学のおもちゃ箱@Hatena は、連星の公転が突然停止するという突飛なものであったが、こちらは多少は現実味のある設定。やや難問だと思うが、結果はいたってシンプル。 【問題】 質量がそれぞれ の星A, B が図のように連星系を構成し、重心O…

【 問題】 電圧 で電荷 に充電されたコンデンサーをより高い電圧 で追加充電して電荷が になったとする。電池が供給した仕事（電力量） はいくらか。 この問題の解答として，次のうちどれが正しいと思いますか？ (1) 電圧 で電荷 に充電されたコンデンサーの…

この引力について考えたことのある人は多いだろうが，くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか？ 高校生（？）が思いついたおもしろい問題。結果は１日ちょっと。【問題】 質量がぞれぞれ1.0kgの物体A、Bを1m離れた…

１ 自由落下における落下点のずれ 地球の自転による慣性力の影響については，いくつかの興味ある題材があるが，そのうちのひとつに，高いタワー上からの自由落下において，落下点が自転方向にずれるという現象がある。理論上最も大きくずれる赤道上でも，100…

【問題】 (1) 正角形の回路上に電流 が流れる場合に中心Oに発生する磁場 を求めよ。 (2) の場合の が正角形の外接円の回路に電流 を流した時の中心磁場と等しくなること証明せよ。

いかにも面倒な座標変換における基底（座標方向の単位ベクトル）の変換。より直感を重視する図形的導出と、マニュアル的にすませる座標変換からの計算を並べて整理してみよう。 座標としてはデカルト座標から球座標への変換を例に考察する。

微小変位による静電エネルギーの変化を考察して、電気力を評価する問題はよく知られている。電源から切り離されて電荷 一定 の場合と、電源をつないだままで 一定 の場合とで異なる計算になるが、いずれも結果は同じである。電気力は電荷分布のみで決まるは…

地球上の物体が受ける慣性力に関する覚え書き - 科学のおもちゃ箱@Hatena こちらに19年も前に書いた地表系の慣性力に関する覚え書きを載せたが、そのきっかけになったのは「エトベッシュ効果」に対する次の表式である。 ただし、 ：地球自転の角速度 ：運動…

地表系における運動方程式 地表に固定された系の慣性系に対する加速度運動の大部分は，地球の自転による ものである。遠心力のみを比較すると，自転の遠心力が重力の約1/300であるのに 対して，公転の遠心力はさらにその1/5に満たない。自転の遠心力は地表の…

電気双極子場 - 科学のおもちゃ箱@Hatena で示したように、 電気双極子モーメント に対して十分に遠方の電位と電場は、 となる。同様に、磁気双極子モーメント に対して十分に遠方の磁位と磁場は、 となる。磁気双極子はよく知られているように微小円電流に…

相対運動や衝突の問題でよくみかけるパターン。 とおいて ↓ …① 辺々割ると …②①②の連立が簡明である。ちなみに②は反発係数１によって得られる に同じ。衝突問題に限らず、相対運動で力学的エネルギー保存は反発係数１に置き換えてよい。すぐに気づいた１次元…

糸の張力を求めるときに、円運動の中心をどこに置けばよいか…なかなかの難問。 【問題】 長さ の軽くて伸びない糸でつながれた、質量 の質点Pと質量 の質点Qがあり、Pは水平レール上を摩擦なく滑り、Qは水平位置から振り子運動をする。糸はつねにまっすぐ張…

図のようなばね－マス系の固有振動数を求める。 ななめになっているところがミソで、運動方程式から重力をキャンセルできない。

一般に並列ばねの合成ばね定数は とされる。根拠は だが、一般に２つのばねの伸びは一緒にならないので、あまり実用にならない。２つのばねの伸びが一緒になるように の作用点を調整しなければならないからである。質量が無視できる棒に質点が固定され、図の…

【問題】 質量 の質点が 平面上でその位置ベクトルが で表される運動をしている。質点の力学的エネルギーを求めよ。

なかなか巧妙に仕組まれた問題。 【問題】 任意の定ベクトル 位置ベクトルを また非保存力を、 とする。 平面上()で、原点中心に半径 の円に沿って反時計回りに一周するとき、 がする仕事 を求めよ。

惑星の軌道方程式 の積分定数である を用いてエネルギーを記述し、エネルギー保存から運動において がとり得る範囲を求む。

中心力とは、大きさが距離のみに依存し、方向が動径方向（中心に向かうまたは中心から離れる方向）であるような力です。したがって、 と書けます。保存力の条件は ですから、これを証明すればよいわけです。

線形代数の基礎的な事項とはいえ，学生時代に勉強しなかったために，その意義が見出せぬまま「わけわからん！」状態で現在に至っていましたが，ようやくわかってきた気がします。要するに座標の2次形式の「積の項」を座標の回転でなくすことに相当するわけで…

半円筒に立てかけた棒 - 科学のおもちゃ箱@Hatena の類題。 【問題】 半径 のなめらかな半円筒が水平な粗い床に固定してある。質量 、長さ の一様な細い棒を円筒の軸に垂直に、床との角度が45°をなすように立てかけるとする。棒と床の間の静止摩擦係数を と…

知恵袋で拾った疑問。 同心導体球による電場を解く場合、接地によって誘導される電荷と、それによって生じる静電誘導の重ね合わせを考えるのは常套手段である。たとえば、内球を接地して外球殻に を与えた場合、内球に が誘導されると考えて、電位０とするこ…

OKWaveのQ&Aから。質量が無視できないばねを鉛直につるした場合の伸びについて。 水平にした時の自然長Ｌ、バネ定数ｋの２つのバネＡ，Ｂがあって、Ａは質量| OKWAVE無視できない質量 を持つ，ばね定数 のつるまきばねを鉛直につるしたときの，自重による伸…

Yahoo! 知恵袋から拾った問題。 【問題】 高さ1.5m、奥行き1.0mの水門があり、高さ0.7mにある水平回転軸まわりに回転することにより開くようになっている。この水門が自動的に開くには水深はいくら必要か。 【解答１】 水面を原点とし、鉛直下向きに 軸をと…