【問題】 中空の直線チューブが原点Oを中心に角速度 で回転し、その中を質量 の質点が滑らかに移動している。質点が内側の壁から受けた垂直抗力は であった。回転座標系 での質点の運動方程式をたてよ。回転する棒上のリングの運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena…

地球貫通トンネル問題で、地球内部の位置エネルギーを直接万有引力の位置エネルギーの考察によって導出できないかという質問に対する回答。

「領域の境界面での電場の法線成分と，領域内の電荷分布がすべて定められていれば，これらの境界条件とポアソン方程式を満たす解は一種類である」ことを証明せよ。ChatGPT に聞いてみました。電場の法線成分と領域内の電荷分布が定められているとき、これら…

ポテンシャル の下にある粒子の相対論的ラグランジアンはと書ける。ただし、 では、相対論的ハミルトニアンはどうなるか？まず、 に共役な運動量は となる。ハミルトニアンの定義により上の運動量の表式から すなわち となるから、これを適用してを得る。

座標変換における基本ベクトルの変換についてまとめてみた。直交座標から球座標への変換を考えよう。微分をとると ここで ただし、 などと略記した。 についても同様にして、これらを上に適用すれば、を得る。最終結果をと書くことにする。演習問題として、 …

質量 のなめらかな円筒面をもつ台が、なめらかな水平面上に静止している。半径 の円筒面の中心軸と同じ高さから質量 の質点をすべらせたとき、中心角 となったときの台の速度 、小球の速度 を求める。水平方向の運動量保存とともに、力学的エネルギー保存を…

単振動の運動方程式 をエネルギー積分を介して積分する。 をかけて すなわち 積分すると すなわち ただし、 とおいた。 と置換して積分を実行すれば、 ただし、複号は初期位相 に吸収した。すなわち を得る。

ポテンシャルエネルギーの本質にせまるQ＆A。 【質問】 コンデンサーの静電エネルギーについて、電気量が のときから になるまでに外力が運んだ電荷に蓄えられる位置エネルギーは だと思います。 これを電気量が0のときから のときまで積分することで静電エ…

「ファインマン物理学」演習より。振子の振れによって弾丸の速さを測定する。【問題】 バリスティック振子（ballistic pendulum = 弾道振子）は，振子に弾丸を撃ち込んで振れた幅から弾丸の速さを測定する装置である。振子が長さ の質量が無視できる棒と，質…

質量 の質点が原点をつり合い位置とし、ばね定数 の十分に長い２つのばねで 軸からの角度180°および300°方向に支持され、 平面内で微小振動する。この2自由度系に対する固有振動を考察する。

【問題】 ３次元の静力学問題。

【問題】 質点の座標が次のように与えられるサイクロイド運動で、軌道の曲率半径 を の関数として表せ。ただし、加速度が となることを用いること。

ばね定数 の鉛直ばねにつりさげられた質量 のブロックを支点とする質量 、長さ の振り子の運動を考察する。ポテンシャルエネルギーをどうとるかについて「知恵袋」に質問投稿された問題である。つり合い位置からのブロックの変位を 、鉛直下方からの振り子の…

連星は重心系において、それぞれ重心を焦点とする相似な楕円軌道を描く。 連星の一方A（質量 ）から見た他方B（質量 ）の運動は、Aを焦点とするやはり個別の軌道に相似な楕円軌道となる。しかし、Aに固定した座標系は非慣性系であるから、慣性力の考慮が必要…

図のように、小球 A が静止した等質量の B に対して速さ で反発係数 の非弾性衝突をし、B は角度 の方向に散乱したとするとき、 を決定する。ただし、小球間の摩擦は無視できるものとする。 Algodooシーンのダウンロード https://img.atwiki.jp/yokkun/attac…

質量 の連星系の近点距離 およびその相対速さ から遠点距離 およびその相対速さ を得る。 の場合については、 近日点から遠日点を得る - 科学のおもちゃ箱@Hatena で考察したが、計算はほとんど同じである。 面積速度一定より 力学的エネルギー保存より ただ…

楕円の基本性質をチェックしていて今さらながらおもしろい（？）ことに気づいた 「楕円軌道において近点・遠点距離に対して長半径は相加平均、短半径は相乗平均となる」 何と見通しの良い関係だろう。

質量 をもつ連星系を考える。 簡単のため、相互の距離 が変わらない円軌道としよう。以下の考察を一般の楕円軌道に応用することはさほど難しくないだろう。 Algodooシーンのダウンロード https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1529/rensei-kei-2-tai-1.phz

粗い水平面上に鉛直に静止した質量 、半径 の円板に、質量 の質点が自由落下して速さ で弾性衝突する。このとき衝突点は水平方向から中心角 の位置とし、円板と質点の間には摩擦はないものとする。衝突後円板は水平面を滑ることなく転がるとするとき、その速…

質量 、半径 の一様な円板があり、その中心から の位置に質量 の質点がくっついている。この円板が傾角 の斜面上で滑ることなく転がる運動を考察する。質点位置が円板中心と接地点中心をつなぐ半径上にあるとき（図の右側）に、放すとする。

最近、固定座標軸2軸まわりの回転による位置ベクトルの移動を考察した。 位置ベクトルの2軸回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena与えられた位置ベクトルを任意の位置に回転させるには、回転軸を任意に取れるならば本来1軸まわりの回転ですむ。回転軸は元ベクトル …

位置ベクトル を の2軸まわりの回転3回で に移すことを考える。まず、 成分のみのベクトル を任意の位置ベクトル に移す操作を見出そう。

よくある相対運動の問題。 傾角 の斜面をもつ質量 の台の上で質量 の小物体が摩擦なく滑り、それにともなって斜面台がなめらかな水平面上を運動する。水平方向の運動量保存と、力学的エネルギー保存で多くの情報が得られるが、慣性力を考慮した運動方程式を…

質点Aが等質量の静止した質点Bに弾性衝突したとき、衝突後の散乱方向が直交することはよく知られている。A,Bの質量が異なり、 とするとき、静止したBにAが速度 で弾性衝突したときのA,Bの散乱角 の関係を求めたい。運動量保存とエネルギー保存を連立させるわ…

以前、連星系の公転が突然停止したら、とか、一方の質量が突然欠損したら、とかの突飛な考察をしたことがあった。 連星系の崩壊 - 科学のおもちゃ箱@Hatena 連星系の崩壊２ - 科学のおもちゃ箱@Hatena今回の考察は質量欠損の続きだが、無限遠に離れて崩壊す…

2020年東北大の力学問題を解説する動画がいくつかある。 問題 https://bouseijuku.sakura.ne.jp/2020tohoku-buturi-mondai.pdf 解説動画 2020 東北大物理 第１問解説 - YouTube 東北大学 2020年物理入試 全問題解説 #高校物理 #大学入試問題解説 - YouTube最…

「運動方程式で、その物体に加わる外からの力と加速度が繋がってる理由って、絶対に説明不可能なのでしょうか？」 どの参考書や講義などでも運動方程式は成り立つものと仮定して全ての話が展開されていくことに疑問を持った、おマセな受験生の質問である（知…

力は、あくまで着目している物体の未来予測のためにみつける。では、どのようにみつけたら過不足なくみつけることができるだろうか。 まず、力は大別して2種類あることに注意しよう。 ①遠隔力＝相手が離れていても受ける力 ②接触力＝相手がくっついているこ…