質点がついた円板の微小振動

前問 質点がついた軽い円板の微小振動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena に対して、円板の質量が無視できない場合。

【問題】

質量が M 、半径 R の一様な円板上,中心から距離 r のところに質量 m の質点が固定されている。鉛直面上で円板が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき,その周期を求めよ。ただし,重力加速度の大きさを g とする。
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質点がついた軽い円板の微小振動

【問題】

質量が無視できる半径 R の円板上,中心から距離 r のところに質量 M の質点が固定されている。鉛直面上で円板が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき,その周期を求めよ。ただし,重力加速度の大きさを g とする。
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連星系の崩壊

http://okwave.jp/qa/q6149778.htmlのQ&Aより。相互に円軌道を描く連星系の回転が突然静止したとして,接近衝突までの時間を問う。
【問題】
万有引力のもとで2つの質点が周期 \tau で互いに円運動をしている。ある瞬間に2つの質点を止め、次に放すと2つの質点は時間 \tau/(4\sqrt 2) の後に衝突することを示せ。
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1m離れた1kgの質点が万有引力でくっつく時間

この引力について考えたことのある人は多いだろうが,くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか? 高校生(?)が思いついたおもしろい問題。結果は1日ちょっと。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1054155695より。
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【問題】
質量がぞれぞれ1.0kgの物体A、Bを1m離れた場所に置く。この2つの物体には万有引力がはたらき、お互いにひきつけあう力が働く。これらの物体が衝突するのにかかる時間を求めよ。なお、これら2つの物体には万有引力以外の力ははたらかないものとする。万有引力定数を
G=6.67\times10^{-11} [Nm^2/kg^2]
とする。
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基本的に,連星系の崩壊に同じ。
2質点間の距離をr(t),r(0)=r_0として,運動時間を求める。

エネルギー保存は

\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 - \frac{Gm^2}{r} = -\displaystyle\frac{Gm^2}{r_0}

\mu=m/2 は換算質量。質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着する)

整理すると,

\displaystyle\frac{dr}{dt} = -2\sqrt{ Gm\left(\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) }

求める時間 T は,

T = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{Gm}}\times I,\qquad I = \displaystyle\int_0^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}}}

積分 I を計算する。 u=\sqrt{1/r - 1/r_0} とおくと,

I = 2\displaystyle\int_0^\infty\frac{du}{(u^2 + 1/r_0)^2}

さらに,u = \tan\theta/\sqrt{r_0} とおくと,

I = 2{r_0}^{3/2}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \displaystyle\frac{\pi {r_0}^{3/2}}{2}

したがって,

T = \displaystyle\frac{\pi {r_0}^{3/2}}{ 4\sqrt{Gm} } = 9.62\times10^4 [s] = 26.7 [h]

を得る。Algodooの設定は,G=0.002 で理論値17.56秒。
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Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=483&file=Inryoku.phz
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(初稿:2011/01/23)

回転球の正面衝突

【問題】

鉛直軸の周りに角速度 \omega で回転しながら速度 u で水平面上を進んできた球が、静止している他の等しい球に正面衝突するとき、衝突後に各球は初めの進行方向に対してそれぞれどの方向に進むか。また、これらの方向角が最大となるのは角速度 \omega がいくらのときか。衝突点において滑らない場合と滑る場合について求めよ。ただし両球の間の静止摩擦係数を \mu_0 、運動摩擦係数を \mu 、反発係数を e とする。
(出典:学術図書出版「力学への道」)
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