鉛直ばねにつながれた振り子の運動

ばね定数 k の鉛直ばねにつりさげられた質量 m のブロックを支点とする質量 m、長さ l の振り子の運動を考察する。ポテンシャルエネルギーをどうとるかについて「知恵袋」に質問投稿された問題である。つり合い位置からのブロックの変位を y、鉛直下方からの振り子の角変位を \theta とする。

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連星の一方に固定した座標系による記述（覚え書き）

連星は重心系において、それぞれ重心を焦点とする相似な楕円軌道を描く。
連星の一方A（質量 M）から見た他方B（質量 m）の運動は、Aを焦点とするやはり個別の軌道に相似な楕円軌道となる。しかし、Aに固定した座標系は非慣性系であるから、慣性力の考慮が必要になる。

相対運動の力学的エネルギーを考えると
E = \displaystyle\frac{1}{2}\mu u^2 - \frac{GMm}{r}\\ = \displaystyle\frac{1}{2}\frac{Mmu^2}{M+m} - \frac{GMm}{r}\\ = \displaystyle\frac{1}{2}mu^2\left(1 - \frac{m}{M+m}\right) - \frac{GMm}{r}\\ = \displaystyle\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{r} - \frac{m^2u^2}{2(M+m)}
と書き換えられる。

最終項が慣性力によるポテンシャルエネルギーという解釈でよいのか？

等質量斜め非弾性衝突

図のように、小球 A が静止した等質量の B に対して速さ v_0 で反発係数 e の非弾性衝突をし、B は角度 \theta の方向に散乱したとするとき、u, v, \varphi を決定する。ただし、小球間の摩擦は無視できるものとする。

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https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1530/naname-hidansei-shoutotsu.phz

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連星系軌道の近点から遠点を得る

質量 M, m の連星系の近点距離 r_1 およびその相対速さ v_1 から遠点距離 r_2 およびその相対速さ v_2 を得る。

M \gg m の場合については、
近日点から遠日点を得る - 科学のおもちゃ箱@Hatena
で考察したが、計算はほとんど同じである。

面積速度一定より
r_1 v_1 = r_2 v_2

力学的エネルギー保存より
\displaystyle\frac{1}{2}\mu{v_1}^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}\mu{v_2}^2 - \frac{GMm}{r_2}
ただし、
\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}
は換算質量。

2式連立して
r_2 = \displaystyle\frac{{r_1}^2{v_1}^2}{2G(M+m)- r_1{v_1}^2}
v_2 = \displaystyle\frac{2G(M+m) - r_1{v_1}^2}{r_1 v_1}
を得る。

重心系におけるそれぞれの運動においてもほぼ同じ表式となり、重心からの距離が質量の逆比になるだけだから、両者は重心を焦点とする相似な楕円軌道を描くことになる。

楕円軌道の長・短半径と近・遠点距離の関係

楕円の基本性質をチェックしていて今さらながらおもしろい（？）ことに気づいた
「楕円軌道において近点・遠点距離に対して長半径は相加平均、短半径は相乗平均となる」

a = \displaystyle\frac{1}{2}(r_{\rm min}+r_{\rm max})
b = \sqrt{r_{\rm min}r_{\rm max}}

何と見通しの良い関係だろう。

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連星系を記述する３つの運動方程式

質量 m_1, m_2 をもつ連星系を考える。
簡単のため、相互の距離 r=r_1+r_2 が変わらない円軌道としよう。以下の考察を一般の楕円軌道に応用することはさほど難しくないだろう。

Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1529/rensei-kei-2-tai-1.phz

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円板の衝突転がり

粗い水平面上に鉛直に静止した質量 M、半径 r の円板に、質量 m の質点が自由落下して速さ v_0 で弾性衝突する。このとき衝突点は水平方向から中心角 \theta の位置とし、円板と質点の間には摩擦はないものとする。衝突後円板は水平面を滑ることなく転がるとするとき、その速さを求める。

これは、
斜面台への落下（力学的エネルギーは保存されるか？） - 科学のおもちゃ箱@Hatena

を思い出して、同様の考察を要する応用問題にならないかと考えた自作問題である。
剛体の回転を含む大学レベルと考えてつくってはみたが、運動量保存とエネルギー保存または反発係数１を連立するもAlgodooのシミュレーションになかなか一致しない。
そこで、上の東北大学の問題に習って運動量‐力積関係にもどって考えたらようやくわかった。円板は滑らずに転がるのだから、衝突時に円板が水平面から受ける撃力には摩擦力が含まれる。これは、円板と質点の系に対して外力であるから、水平方向の運動量は保存しないのだ。また、衝突方向の反発係数１も成立しない。

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