ポインティングベクトルによる電気エネルギーの流入

電磁気

これも知恵袋から拾った問題。
(a)に示すように半径 a の二つの円板導体が距離 d 離れて平行に配置され、導体間には誘電率 \varepsilon、透磁率 \mu、導電率 \sigma の物質が挿入されている。また、導体間には(b)に示すような電圧 V(t) が印加されている。ただし、時刻 t=0 において円板導体には電荷はないものとする。また、a \gg d であり端効果は無視できるとする。




時刻 t\;(0 \lt t \lt T) において円板導体間に
電場
E = \displaystyle\frac{V(t)}{d} = \frac{V_0 t}{Td}
変位電流密度
J_d = \varepsilon \displaystyle\frac{dE}{dt} = \frac{\varepsilon V_0}{Td}
電流密度
J = \sigma E = \displaystyle\frac{\sigma V_0 t}{Td}
が存在する。

点R (r=a) における磁場は、アンペールの法則により
H = \displaystyle\frac{aV_0(\varepsilon+\sigma t)}{2Td}

ポインティングベクトルの大きさは
S = EH = \displaystyle\frac{a{V_0}^2t(\varepsilon+\sigma t)}{2T^2 d^2}
方向は中心軸方向であり、伝送される電力は
P = S\cdot 2\pi ad = \displaystyle\frac{\pi a^2{V_0}^2t(\varepsilon+\sigma t)}{T^2d}

時刻 t=T までに流入するエネルギーは
U_{total} = \displaystyle\int_0^T P dt = \frac{\pi a^2\varepsilon {V_0}^2}{2d} + \frac{\pi a^2\sigma T {V_0}^2}{3d}
となる。

第1項は静電エネルギーとしてたくわえられ、第2項はジュール熱として消費されることがわかる。