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曲率テンソルの展開

一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル(リーマンテンソル)をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率(リッチスカラー)で展開する。(初稿2010/10/01)


曲率テンソル

R_{\alpha\beta\gamma\delta} = g_{\alpha\mu}{R^\mu}_{\beta\gamma\delta}

は,交換(\alpha,\beta)および(\gamma,\delta)に対して反対称,さらに同時交換(\alpha,\gamma)(\beta,\delta)に対して対称であるから,ある対称テンソルA_{\alpha\beta}を用いて,

R_{\alpha\beta\gamma\delta} = A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - A_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + A_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}

と書ける。\alpha,\gammaについて縮約して得られるリッチテンソルは,

R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} + (n-2)A_{\beta\delta}

となる。ここに,A=g^{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}で,nは空間の次元数である。さらに縮約して得られるスカラー曲率は,

R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = 2(n-1)A

となる。

1次元空間(n=1)では,R = 0Aは不定。もともと1次元では反対称性から曲率テンソルの成分はことごとく0となるから当然だ。n > 1のとき,

A = \displaystyle\frac{R}{2(n-1)}

したがってn > 2のとき,

A_{\beta\delta} = \displaystyle\frac{1}{n-2}\left\{R_{\beta\delta} - \frac{1}{2(n-1)}Rg_{\beta\delta}\right\}

を得る。これを代入すれば,曲率テンソルはリッチテンソルスカラー曲率によって

R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \displaystyle\frac{1}{n-2}(R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + R_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})
      - \displaystyle\frac{R}{(n-1)(n-2)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})

と展開されることがわかる。ただし,4次元の場合はここにワイルテンソルと呼ばれる4階テンソルの項が付加される。

2次元(n=2)の場合については,次のような方法をみつけた。

曲率テンソルR_{\alpha\beta\gamma\delta}\alpha,\betaに関して反対称だから,

R_{\alpha\beta\gamma\delta}=A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}

とおくことができる。縮約して,

R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} - A_{\beta\delta}
R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = A

したがって,

A_{\beta\delta} = g_{\beta\delta}R - R_{\beta\delta}

初めの曲率テンソルに代入して,

R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}

(\alpha,\gamma)(\beta,\delta)を同時交換して,

R_{\gamma\delta\alpha\beta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}

曲率テンソルは,この交換に対して対称だから,

R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta} = R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}

さらに縮約して,

Rg_{\alpha\delta} = 2R_{\alpha\delta}
\therefore R_{\alpha\delta} = \displaystyle\frac{1}{2}g_{\alpha\delta}R

結局,

R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \displaystyle\frac{R}{2}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})

を得る。2次元についてはさらに,http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27564&mode2=preview_pcからある方の次の考察を覚え書きとして引用させていただく。

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\varepsilon_{\alpha\beta}を2次元Levi-Civita記号とします。(\varepsilon_{11}=0,\varepsilon_{12}=1,\varepsilon_{21}=-1,\varepsilon_{22}=0)
任意の反対称テンソルA_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta} =\varepsilon_{\alpha\beta}A_{12}と表せることより

R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\varepsilon_{\alpha\beta}R_{12\gamma\delta} =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}R_{1212}

と書けます。(R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}は自動的に満たされています。)
ここで、同様に

g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta} =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{12})\\ =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}|g|\quad(\because~g_{12}=g_{21})

ですから(|g|行列式)、「一意的」に

R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\displaystyle\frac{1}{|g|}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})R_{1212}

と書けます。

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