曲率テンソルの展開 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

一般相対論のリーマン微分幾何学に出てくる曲率テンソル（リーマンテンソル）をその縮約であるリッチテンソルおよびスカラー曲率（リッチスカラー）で展開する。（初稿2010/10/01）

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = g_{\alpha\mu}{R^\mu}_{\beta\gamma\delta}$

は，交換 $(\alpha,\beta)$ および $(\gamma,\delta)$ に対して反対称，さらに同時交換 $(\alpha,\gamma)(\beta,\delta)$ に対して対称であるから，ある対称テンソル $A_{\alpha\beta}$ を用いて，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - A_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + A_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

と書ける。 $\alpha,\gamma$ について縮約して得られるリッチテンソルは，

$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} + (n-2)A_{\beta\delta}$

となる。ここに， $A=g^{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}$ で， $n$ は空間の次元数である。さらに縮約して得られるスカラー曲率は，

$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = 2(n-1)A$

となる。

１次元空間（ $n=1$ ）では， $R = 0$ で $A$ は不定。もともと１次元では反対称性から曲率テンソルの成分はことごとく0となるから当然だ。 $n > 1$ のとき，

$A = \displaystyle\frac{R}{2(n-1)}$

したがって $n > 2$ のとき，

$A_{\beta\delta} = \displaystyle\frac{1}{n-2}\left\{R_{\beta\delta} - \frac{1}{2(n-1)}Rg_{\beta\delta}\right\}$

を得る。これを代入すれば，曲率テンソルはリッチテンソルとスカラー曲率によって

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \displaystyle\frac{1}{n-2}(R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma} + R_{\beta\delta}g_{\alpha\gamma} - R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})$
　　　　　 $- \displaystyle\frac{R}{(n-1)(n-2)}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})$

と展開されることがわかる。ただし，4次元の場合はここにワイルテンソルと呼ばれる4階テンソルの項が付加される。

２次元（ $n=2$ ）の場合については，次のような方法をみつけた。

曲率テンソル $R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ は $\alpha,\beta$ に関して反対称だから，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=A_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-A_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

とおくことができる。縮約して，

$R_{\beta\delta} = g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\beta\gamma\delta} = Ag_{\beta\delta} - A_{\beta\delta}$
$R = g^{\beta\delta}R_{\beta\delta} = A$

したがって，

$A_{\beta\delta} = g_{\beta\delta}R - R_{\beta\delta}$

初めの曲率テンソルに代入して，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}$

$(\alpha,\gamma)$ と $(\beta,\delta)$ を同時交換して，

$R_{\gamma\delta\alpha\beta} = R(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}) - R_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} + R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$

曲率テンソルは，この交換に対して対称だから，

$R_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta} = R_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$

さらに縮約して，

$Rg_{\alpha\delta} = 2R_{\alpha\delta}$
$\therefore R_{\alpha\delta} = \displaystyle\frac{1}{2}g_{\alpha\delta}R$

結局，

$R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \displaystyle\frac{R}{2}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta} - g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})$

を得る。２次元についてはさらに，http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27564&mode2=preview_pcからある方の次の考察を覚え書きとして引用させていただく。

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$\varepsilon_{\alpha\beta}$ を2次元Levi-Civita記号とします。( $\varepsilon_{11}=0,\varepsilon_{12}=1,\varepsilon_{21}=-1,\varepsilon_{22}=0$ )
任意の反対称テンソル $A_{\alpha\beta}$ が $A_{\alpha\beta} =\varepsilon_{\alpha\beta}A_{12}$ と表せることより

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\varepsilon_{\alpha\beta}R_{12\gamma\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}R_{1212}$

と書けます。( $R_{\alpha\beta\gamma\delta} = R_{\gamma\delta\alpha\beta}$ は自動的に満たされています。)
ここで、同様に

$g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta}　=\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}(g_{11}g_{22}-g_{12}g_{12})\\ =\varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\gamma\delta}|g|\quad(\because~g_{12}=g_{21})$

ですから( $|g|$ は行列式)、「一意的」に

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}=\displaystyle\frac{1}{|g|}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\beta\gamma}g_{\alpha\delta})R_{1212}$

と書けます。