サイクロイド運動の曲率半径

物理数学 機構学

【問題】
質点の座標が次のように与えられるサイクロイド運動で、軌道の曲率半径 \rho を t の関数として表せ。

x = R(\omega t - \sin\omega t)\\ y = R(1 - \cos\omega t)

ただし、加速度が
\boldsymbol{a} = \displaystyle\frac{dv}{dt}\boldsymbol{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\boldsymbol{e}_n
となることを用いること。

【解答】
直交座標系と自然座標系の基本単位ベクトルを図のようにとる。

\dot{x} = R\omega(1 - \cos\omega t)
\dot{y} = R\omega\sin\omega t
\ddot{x} = R\omega^2\sin\omega t
\ddot{y} = R\omega^2\cos\omega t

\boldsymbol{a} = R\omega^2(\boldsymbol{e}_x \sin\omega t + \boldsymbol{e}_y \cos\omega t) = \displaystyle\frac{dv}{dt}\boldsymbol{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\boldsymbol{e}_n

v = \sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2} = R\omega\sqrt{2(1 - \cos\omega t)}

\tan\theta = \displaystyle\frac{dy}{dx} だから、
\boldsymbol{e}_x \cdot \boldsymbol{e}_n = \sin\theta =\displaystyle\frac{dy}{\sqrt{dx^2+dy^2}} = \frac{\dot{y}}{v} = \frac{\sin\omega t}{\sqrt{2(1 - \cos\omega t)}}
\boldsymbol{e}_y \cdot \boldsymbol{e}_n = - \cos\theta = - \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}} = - \frac{\dot{x}}{v} = - \sqrt{\frac{1 - \cos\omega t}{2}}

\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_n = \displaystyle\frac{v^2}{\rho} = R\omega^2(\boldsymbol{e}_x \cdot \boldsymbol{e}_n \sin\omega t + \boldsymbol{e}_y \cdot \boldsymbol{e}_n \cos\omega t) = R\omega^2\sqrt{\frac{1 - \cos\omega t}{2}}

したがって、
\rho = \displaystyle\frac{v^2}{R\omega^2\sqrt{\displaystyle\frac{1 - \cos\omega t}{2}}} = 2R\sqrt{2(1 - \cos\omega t)}

を得る。