鉛直ばねにつながれた振り子の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ばね定数 $k$ の鉛直ばねにつりさげられた質量 $m$ のブロックを支点とする質量 $m$ 、長さ $l$ の振り子の運動を考察する。ポテンシャルエネルギーをどうとるかについて「知恵袋」に質問投稿された問題である。つり合い位置からのブロックの変位を $y$ 、鉛直下方からの振り子の角変位を $\theta$ とする。

$y$ をつり合い位置からとっているが、振り子の運動で重力による位置エネルギーの変化は無視することができない。そこで、重力のキャンセルを保留して計算しなおしてみると、

$U = \displaystyle\frac{1}{2} k\left(y + \frac{2mg}{k}\right)^2 - mgy - mg(y+l\cos\theta)$

展開してみると、定数を省いて

$U = \displaystyle\frac{1}{2} ky^2 - mgl\cos\theta$

とすればよいことがわかる。ラグランジアンは、

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m{\dot{y}}^2 + \frac{1}{2}m\{(l\dot{\theta}\cos\theta)^2+(\dot{y} - l\dot\theta\sin\theta)^2\} - \frac{1}{2}ky^2 + mgl\cos\theta$

となる。微分して連立すると、数値計算用に分離した

$\ddot{y} = \displaystyle\frac{- ky/m - g\sin^2\theta + l{\dot\theta}^2\cos\theta}{1 + \cos^2\theta}$
$\ddot{\theta} = \displaystyle\frac{(- ky/m + l{\dot\theta}^2\cos\theta - 2g)\sin\theta}{L(1 + \cos^2\theta)}$