等質量斜め非弾性衝突

図のように、小球 A が静止した等質量の B に対して速さ v_0 で反発係数 e の非弾性衝突をし、B は角度 \theta の方向に散乱したとするとき、u, v, \varphi を決定する。ただし、小球間の摩擦は無視できるものとする。

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Aの入射方向の運動量保存
v\cos\varphi + u\cos\theta = v_0　…①
Aの入射と垂直な方向の運動量保存
v\sin\varphi - u\sin\theta = 0　…②
反発係数
u - v\cos(\theta+\varphi) = e v_0\cos\theta　…③

①×\cos\theta - ②×\sin\theta により
v\cos(\theta+\varphi) + u = v_0\cos\theta　…④

③ + ④ により
u = \displaystyle\frac{1}{2}(1+e)v_0\cos\theta

あらためて①②より
\tan\varphi = \displaystyle\frac{u\sin\theta}{v_0 - u\cos\theta} = \frac{(1+e)\sin\theta\cos\theta}{2 - (1+e)\cos^2\theta}

②より
v = \displaystyle\frac{\sin\theta}{\sin\varphi} u = \frac{1}{2}v_0\sqrt{4 - (1+e)(3 - e)\cos^2\theta}

を得る。