極座標による微分導出への回転の活用(2)

発散の計算の成功に気をよくして，次は回転。

ベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の回転は，

$\nabla\times\boldsymbol{A} = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} \times d\boldsymbol{A}$

ここで，発散の計算の結果から
$^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} = \displaystyle\frac{\boldsymbol{e}_r}{dr} + \frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r d\theta} + \frac{\boldsymbol{e}_\varphi}{r\sin\theta d\varphi}\\ d\boldsymbol{A} = D\boldsymbol{A} + d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A}\\ 　D\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r dA_r + \boldsymbol{e}_\theta dA_\theta + \boldsymbol{e}_\varphi dA_\varphi\\ 　d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r(-A_\theta d\theta - A_\varphi\sin\theta d\varphi) + \boldsymbol{e}_\theta(A_r d\theta - A_\varphi\cos\theta d\varphi) + \boldsymbol{e}_\varphi(A_r\sin\theta d\varphi + A_\theta\cos\theta d\varphi)$
であるから，以上を代入して整理すると，
$\nabla\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r\left(\displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} - \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi} + \frac{A_\varphi}{r\tan\theta}\right)\\ 　　　　 + \boldsymbol{e}_\theta\left(-\displaystyle\frac{\partial A_\varphi}{\partial r} - \frac{A_\varphi}{r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}\right)\\ 　　　　 + \boldsymbol{e}_\varphi \left(\displaystyle\frac{\partial A_\theta}{\partial r} + \frac{A_\theta}{r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)$
あるいは，お好みであれば
$\nabla\times\boldsymbol{A} = \displaystyle\frac{\boldsymbol{e}_r}{r\sin\theta}\Big[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta A_\varphi) - \frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\Big] + \boldsymbol{e}_\theta\Big[\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi)\Big] + \frac{\boldsymbol{e}_\varphi}{r}\Big[\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta) - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}\Big]$

を得る。
極座標による微分導出への回転の活用(3) - 科学のおもちゃ箱@Hatena

（初稿：2010/10/13）