静電エネルギーの３つの計算

電磁気

「知恵袋」の質問から

半径 a 電荷密度 \rho の一様な球が存在する系全体の静電エネルギー U を求める問題で電位 V , 電場 E としたときに

U=\displaystyle\int_{[全空間]}\;\;\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 dv

という体積積分で求めたものと

U=\displaystyle\int_{[球内部]}\;\;\frac{1}{2}\rho V dv

という体積積分で求めたものが一致するのは何故か？

なるほど、積分範囲が全空間と球内部で異なっているように見える。しかし、これは錯覚である。

積分要素
dU = \displaystyle\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\cdot 4\pi r^2dr
において、ガウスの法則により
E(r)\cdot 4πr^2 = \displaystyle\frac{Q(r)}{\varepsilon_0}
ただし、Q(r) は半径 r までに存在する電荷である。
したがって、
dU = \displaystyle\frac{1}{2} Q(r) E(r)\cdot dr = - \displaystyle\frac{1}{2} Q(r) dV

つまり、結果的に同じ計算をしていることになる。


(i) 0\le r\le a のとき

E(r) = \displaystyle\frac{Q(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\rho}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}

V(r) = V(a) - \displaystyle\int_a^r E(r) dr = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3\rho}{4\pi\varepsilon_0 a} - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_a^r r dr\\ = \displaystyle\frac{\rho a^2}{3\varepsilon_0} - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{r^2}{2} - \frac{a^2}{2}\right) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0}(3a^2 - r^2)


(ii) r \gt a のとき

E(r) = \displaystyle\frac{Q(a)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3\rho}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \displaystyle\frac{a^3\rho}{3\varepsilon_0 r^2}

V(r) =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3\rho} {4\pi\varepsilon_0 r} = \displaystyle\frac{a^3\rho}{3\varepsilon_0 r}

積分を実行すると

U = \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{2}\varepsilon_0 E(r)^2 \cdot 4\pi r^2 dr\\ = \displaystyle\int_0^a \frac{\varepsilon_0}{2}\cdot \left(\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\right)^2\cdot 4\pi r^2 dr + \displaystyle\int_a^\infty \frac{\varepsilon_0}{2}\cdot \left(\frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2}\right)^2\cdot 4\pi r^2 dr\\ = \displaystyle\frac{2\pi \rho^2a^5}{45\varepsilon_0} + \frac{2\pi\rho^2a^5}{9\varepsilon_0} = \displaystyle\frac{4\pi\rho^2a^5}{15\varepsilon_0}

または、

U = \displaystyle\int_0^a \frac{1}{2}\rho V(r)\cdot 4\pi r^2 dr\\ = \displaystyle\int_0^a \frac{\rho}{2}\cdot \frac{\rho}{6\varepsilon_0}(3a^2 - r^2)\cdot 4\pi r^2 dr\\ = \displaystyle\frac{4\pi\rho^2a^5}{15\varepsilon_0}

いずれも電荷の積分と電場（電位）の積分が含まれるが、電場（電位）の積分の中に電荷の積分を組み込むか、電荷の積分の中に電場（電位）の積分を組み込むか、という２つのイメージによる解釈の違いというわけだ。

結果的には、最も初歩的な「集める仕事」の計算が簡明である。
半径 r の一様電荷球に厚さ dr を付け加える仕事は

dU = Vdq = 4\pi r^2 dr \rho\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\rho}{4\pi\varepsilon_0 r} = \displaystyle\frac{4\pi r^4\rho}{3\varepsilon_0} dr

半径 a まで仕上げる仕事が静電エネルギーに他ならないから、

U = \displaystyle\frac{4\pi\rho^2}{3\varepsilon_0}\int_0^a r^4 dr = \displaystyle\frac{4\pi\rho^2a^5}{15\varepsilon_0}

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【追記】

dU = \displaystyle\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\cdot 4\pi r^2 dr = - \displaystyle\frac{1}{2} Q dV
からの展開に悩んでいたが、解決したかもしれない。電荷密度 \rho=\rho(r) とする。

dU = - \displaystyle\frac{1}{2} Q dV\\ = - \displaystyle\frac{1}{2}\Big\{d(QV) - VdQ\Big\}\\ = \displaystyle\frac{1}{2}VdQ - \frac{1}{2}d(QV)\\ = \displaystyle\frac{1}{2}\rho V\cdot 4\pi r^2 dr - \frac{1}{2}d(QV)

全空間積分は
U = \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{2}\rho(r) V(r)\cdot 4\pi r^2 dr - \frac{1}{2}\Big\{Q(\infty)V(\infty) - Q(0)V(0)\Big\}\\ = \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{2}\rho(r) V(r) \cdot 4\pi r^2 dr

もとの設定では
\rho(r) = \rho = {\rm const.}\;\;{\rm for}\;\; 0\le r \le a
\rho(r) = 0 \;\;{\rm for}\;\; r \gt a
だから、

\displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \cdot 4\pi r^2 dr = \displaystyle\int_0^a \frac{1}{2} \rho V\cdot 4\pi r^2 dr

となる。